Matrizes

MATRIZ INVERSA - AULA 9 -

OUTRA FORMA DE OBTENÇÃO DA MATRIZ INVERSA
Definição: A.B = B.A = In e se escreve: B = A-1 EXEMPLO: Dada a matriz de inversa decorre que:

 4 1 A=  11 3

, se

a b  A−1 =   c d 

, por definição

 4 1 a b  1 0 11 3. c d  = 0 1 ⇔     

4b + d  1 0  4a + c 11a + 3c 11b + 3d  = 0 1  ⇔    

a =3  4a + c = 1  4b + d = 0 b = −1 e  ⇔  c = −11 11a + 3c = 0 11b + 3d = 1 d =4

 3 − 1 ⇔ A−1 =   − 11 4 

EXERCÍCIO

Determine a matriz inversa da matriz a seguir :

 3 − 1 A=  2 3 

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CÁLCULO DE UM ELEMENTO DA INVERSA
Como obter um elemento de B = A-1, matriz inversa da matriz A. Se B é a matriz inversa de A e bij um de seus elementos, então:

bij =

cofator de a ji det A

EXEMPLO: Dada a matriz a seguir, calcule os elementos b13 e b32 da matriz inversa de A.

 4 2 1   A =  − 3 3 5  1 0 1  

PROPRIEDADES
Se A e B são duas matrizes quadradas, inversíveis e de mesma ordem, valem as seguintes propriedades:

1) (A-1) -1 = A 2) A = B ⇔ A-1 = B-1 3) (At) -1 = (A-1) t 4) (A.B) -1 = B -1 . A -1 5) det (A-1) = 1 / det A

EXEMPLO
0 1  1 A =  − 1 − 2 0   1 / 5 4 3  

Calcule o determinante da inversa da matriz a seguir :

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