matrizes inversas

Invers˜ ao de Matrizes
Defini¸
c˜ ao e Propriedades
Defini¸
c˜ ao. Uma matriz quadrada A, n × n, ´e invert´ıvel (ou n˜ ao-singular) se existe uma matriz B, n × n, tal que
AB = BA = I.
B ´e chamada a inversa de A.
Se A n˜ao possui inversa, dizemos que A ´e singular (esta terminologia se explica pelo fato que as matrizes que n˜ao possuem inversa serem uma minoria entre todas as matrizes, minoria em um sentido matematicamente preciso al´em do alcance deste curso), ou n˜ao-invert´ıvel.
Proposi¸
c˜ ao. Se uma matriz possui uma inversa, ent˜ao esta inversa ´e u
´nica.
Prova: Suponha que
AB1 = B1 A = I.
AB2 = B2 A = I.
Tomando a equa¸c˜ ao B1 A = I, por exemplo, e multiplicando obtemos (B1 A)B2 = IB2
B1 (AB2 ) = B2
B1 I = B2
B1 = B2 .

ambos os lados desta equa¸c˜ao `a direita por B2 ,
⇒
⇒
⇒

Propriedades.
1. Se A ´e invert´ıvel, ent˜ ao A−1 tamb´em ´e e (A−1 )−1 = A.
2. Se A, B s˜ao invert´ıveis, ent˜ ao AB tamb´em ´e e
(AB)−1 = B −1 A−1 .
Para verificar isso, temos que mostrar que
(AB)B −1 A−1 = I,
B −1 A−1 (AB) = I.
Provaremos a primeira identidade, j´ a que a demonstra¸c˜ao da segunda ´e an´aloga. De fato,
(AB)B −1 A−1 = A(BB −1 )A−1 = AIA−1 = AA−1 = I.
1

3. Se A ´e invert´ıvel, ent˜ ao At tamb´em ´e e (At )−1 = (A−1 )t .
Com efeito,
At (A−1 )t = [(A−1 )A]t = I t = I, e analogamente se prova que (A−1 )t At = I.
4. Se AB = I, ent˜ ao BA = I.
A propriedade 4 nos diz que para verificar se uma matriz ´e invert´ıvel, basta verificar se ela possui uma inversa `a direita ou uma inversa ` a esquerda. Uma demonstra¸c˜ao deste resultado, usando matrizes elementares,
´e dada no livro-texto.
Exerc´ıcio. Se A e B s˜ ao matrizes n × n tais que o produto AB ´e invert´ıvel, ent˜ao A e B tamb´em s˜ao necessariamente invert´ıveis?
Resposta: Sim, pois A−1 = B(AB)−1 e B −1 = (AB)−1 A.

C´ alculo da Matriz Inversa atrav´ es do M´ etodo de Gauss-Jordan
Exemplo 1. Calcule a inversa, se existir, da matriz
A=

1
3

2
4

.

Obter a inversa A−1 de A significa encontrar uma matriz
B=

x y z w