Matrizes Inversas

Invers˜o de Matrizes a Defini¸˜o e Propriedades ca Defini¸˜o. Uma matriz quadrada A, n × n, ´ invert´ ca e ıvel (ou n˜o-singular) se existe uma matriz B, n × n, a tal que
AB = BA = I.
B ´ chamada a inversa de A. e Se A n˜o possui inversa, dizemos que A ´ singular (esta terminologia se explica pelo fato que as matrizes a e que n˜o possuem inversa serem uma minoria entre todas as matrizes, minoria em um sentido matematicaa mente preciso al´m do alcance deste curso), ou n˜o-invert´ e a ıvel. Proposi¸˜o. Se uma matriz possui uma inversa, ent˜o esta inversa ´ unica. ca a e´ Prova: Suponha que
AB1 = B1 A = I.
AB2 = B2 A = I.
Tomando a equa¸˜o B1 A = I, por exemplo, e multiplicando ca obtemos
(B1 A)B2 = IB2
B1 (AB2 ) = B2
B1 I = B2
B1 = B2 .

ambos os lados desta equa¸˜o ` direita por B2 , ca a
⇒
⇒
⇒

Propriedades.
1. Se A ´ invert´ e ıvel, ent˜o A−1 tamb´m ´ e (A−1 )−1 = A. a e e
2. Se A, B s˜o invert´ a ıveis, ent˜o AB tamb´m ´ e a e e
(AB)−1 = B −1 A−1 .
Para verificar isso, temos que mostrar que
(AB)B −1 A−1 = I,
B −1 A−1 (AB) = I.
Provaremos a primeira identidade, j´ que a demonstra¸˜o da segunda ´ an´loga. De fato, a ca e a
(AB)B −1 A−1 = A(BB −1 )A−1 = AIA−1 = AA−1 = I.
1

3. Se A ´ invert´ e ıvel, ent˜o At tamb´m ´ e (At )−1 = (A−1 )t . a e e
Com efeito,
At (A−1 )t = [(A−1 )A]t = I t = I, e analogamente se prova que (A−1 )t At = I.
4. Se AB = I, ent˜o BA = I. a A propriedade 4 nos diz que para verificar se uma matriz ´ invert´ e ıvel, basta verificar se ela possui uma inversa ` direita ou uma inversa ` esquerda. Uma demonstra¸˜o deste resultado, usando matrizes elementares, a a ca ´ dada no livro-texto. e Exerc´ ıcio. Se A e B s˜o matrizes n × n tais que o produto AB ´ invert´ a e ıvel, ent˜o A e B tamb´m s˜o a e a necessariamente invert´ ıveis? Resposta: Sim, pois A−1 = B(AB)−1 e B −1 = (AB)−1 A.

C´lculo da Matriz Inversa atrav´s do M´todo de Gauss-Jordan a e e Exemplo