Matriz Inversa

Introdução
O conceito de matriz pela sua eficiência, elegância, poder e utilidade dá origem a uma das mais importantes ferramentas da matemática. Possui inúmeras aplicações e é um objeto básico dentro da metodologia estatística.
Encontrar a matriz inversa de uma matriz conhecida é um processo que envolve multiplicação e igualdade de matrizes, que podem ser calculadas tanto por escalonamento, quanto por determinante.
Neste trabalho, será abordado a teoria, aplicação e exemplos da matriz inversa (tal como a resolução de exercícios em anexo) a fim de fornecer conhecimentos necessários para o estudo de sistemas lineares.
Todo o conhecimento apresentado a seguir será aplicado na resolução de exercícios em anexo.

Matriz Inversa
Definição: Uma matriz quadrada A = (aij)n x n é chamada não singular (ou invertível), se existe uma matriz B = (bij)n x n tal que
AB = BA = In
* onde In é a matriz identidade. A matriz B é chamada de inversa de A. Se A não tem inversa, dizemos que A é singular (ou não invertível).
Todo número real a, não nulo, possui um inverso (multiplicativo), ou seja, existe um número b, tal que a b = b a = 1. Este número é único e o denotamos por a-1. Apesar da aritmética matricial ser semelhante a aritmética dos números reais, nem todas as matrizes A não nulas possuem inversa, ou seja, nem sempre existe uma matriz B tal que
AB = BA = In.
De início, para que os produtos AB e BA estejam definidos e sejam iguais, é preciso que as matrizes A e B sejam quadradas. Portanto, somente as matrizes quadradas podem ter inversa, o que já diferencia do caso dos números reais, onde todo número não nulo tem inverso. Mesmo entre as matrizes quadradas, muitas não possuem inversa.
Observe que:
A inversa de uma matriz comuta com a matriz;
Nem toda matriz admite uma matriz inversa;
Quando uma matriz admite uma inversa, ela é chamada de inversível ou de não singular;
A inversa de uma matriz é única.
Propriedades da Inversa