Matematica Metodos numericos
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CÁLCULO NUMÉRICOMarién Martínez Gonçalves
LISTA DE EXERCÍCIOS 3
1. Localize graficamente um intervalo que contenha a raiz pedida na equação f(x) = 0 e determine o intervalo usando f(a) . f(b) < 0.
a) f(x) = ex – 3x
d) f(x) = x log x – 1
b) f(x) = x3 – 3x – 1 (raiz positiva)
e) f(x) = x2 + ln x
R. a) ( 0, 1 );
b) ( 1, 2 );
c) ( 4, 6 );
c) f(x) =
d) ( 2, 3 );
(x
)
e) ( 0.5, 1.0 )
2. Usando o método da bisseção, calcule uma aproximação da raiz que pertence ao intervalo determinado no exercício anterior.
a) f(x) = x3 – 3x – 1
b) f(x) = x2 + ln x
(
(
(
(
3. Encontre, usando o método da bisseção, a raiz cúbica de 10 (use
(
= 2.1875 )
4. Considere a função f(x) = x3 – x – 1. Resolva-a pelo método das Aproximações Sucessivas, usando a função de iteração (x) = 1/x + 1/x2 e x0 = 1.
Faça 5 iterações e justifique o resultado, sabendo que uma raiz está no intervalo ( 1 , 2 ).
Obs: trabalhe com quatro dígitos significativos e arredondamento por simetria. (não converge)
5. Use o método de Newton-Raphson para obter uma raiz das equações abaixo. Trabalhe com 4 dígitos significativos e arredondamento por simetria.
a) x5 – 6 = 0
, x0 = 1 e
b) x3 – 2x2 – 3x + 10 = 0
= 10 -2
, x0 = – 1.9 e
= 10 -3
(
= 1.431 )
(
= – 2.000 )
6. Seja f(x) = ex – 4x2 e sua raiz no intervalo ( 0 , 1 ). Tomando x 0 = 0.5, encontre com = 10 -4, usando: a) o método das Aproximações Sucessivas com (x) = e x/2
( = 0.7147 com 8 iterações)
b) o método de Newton.
(
= 0.7148 com 3 iterações)
Compare a rapidez de convergência.
7. O polinômio p(x) = x5 –
a) Verifique que x1 e x5
( 0.8 , 1 ).
x3 +
x tem seus cinco zeros reais, todos no intervalo (–1 , 1 ).
( –1 , –0.75 ) , x2
( –0.75 , –0.25 ) , x3
( –0.25 , 0.3 ) , x4
( 0.3 , 0.8 )
b) Encontre x1 e x2, pelo respectivo método, usando = 10-4 ou 5 iterações.
b.1) x1: pelo método de Newton (x0 = – 0.8 )
(
= – 0.9062 )
b.2)