Logaritmos e Exponenciais em Diversas Bases

Logaritmos e Exponenciais em Diversas Bases

A hipérbole y = 1/x deu origem aos logaritmos naturais. De maneira análoga, poderíamos repetir todos os passos dados, usando a hipérbole y = k / x. Esse procedimento daria origem a uma nova família de logaritmos para cada valor de k escolhido.

Definimos a função log(a) = area F(k)1a onde F(k)1a é a faixa da hipérbole

y = k / x compreendida entre as rectas x = 1 e x = a.

Observe que esta área é igual a k vezes a área equivalente, sob a curva y = 1/x . Isso mostra-nos que:

log(a) = k.ln(a).

Chamamos base de um sistema de logaritmo ao número b para o qual log(b) = 1.

O logaritmo natural, com o qual trabalhámos até agora, tem como base o número e.

Para calcular a base de um sistema de logaritmos, é preciso descobrir o número b tal que, a área da faixa de hipérbole que vai de 1 até esse número seja igual a 1. Temos então que

log(a) = k.ln(a) = 1, o que leva a k = 1/ (ln(b)) ou b = e (1/k).

Fazendo, por exemplo, k =1.5, temos o seguinte valor para b:

b := 1.947734041054467585663902120793

e a área da faixa F(k)1b será igual a 1. Um cálculo aproximado dessa área pode ser feito como das vezes anteriores. Veja a animação abaixo.

[Maple Plot]

O que acontece à medida que n aumenta?
A notação para o logaritmo de base b de um número x > 0 é logb(x).

Como logb(x) = k.ln(x) e k = 1/ (ln(b)) temos logb(x) = ln(x) / (ln(b)).

Fazendo x = e, vem que logb(e) = 1/ (ln(b)), o que leva a

logb(x) = logb(e) . (ln(x)).

Sendo a > 1 e b > 1, podemos deduzir como passar da representação do logaritmo numa base qualquer a, para a representação noutra base b. Para isso escrevemos:

logb(x) = logb(e) . (ln(x))

loga(x) = loga(e) . (ln(x))

Dividindo uma equação pela outra, obtemos: [Maple Math] , mas, como já tínhamos visto que logb(x) = ln(x) / (ln(b)), temos logb(e) = 1/ (ln(b)) e loga(e) = 1/ (ln(a)), logo [Maple Math] = logb(a), o que nos leva a:

logb(x) = loga(x) .