livro análise

Definicao e propriedades do limite
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Parte 5
Limites de funcoes
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Voltaremos a nocao de limite sob uma forma mais ampla, conside¸˜
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rando, agora, funcoes reais de variavel real, f : X −→ R, com X ⊂ R, em
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ˆ vez de sequencias.

1.

Definicao e propriedades do limite
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Definicao 1.1 Seja f : X −→ R uma funcao definida num subconjunto
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X ⊂ R e seja a ∈ X um ponto de acumulacao.
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Dizemos que o numero real L e o limite de f(x) quando x tende para a e
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escrevemos lim f(x) = L

x→a

quando para cada ε > 0 dado, existe δ > 0 tal que x ∈ (X − {a}) ∩ (a − δ, a + δ) =⇒ |f(x) − L| < ε
Assim, simbolicamente escrevemos: lim f(x) = L ⇐⇒ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ; x ∈ X e 0 < |x − a| < δ =⇒ |f(x) − L| < ε

x→a

⇐⇒ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ; f ( (a − δ, a + δ) ∩ (X − {a}) ) ⊂ (L − ε, L + ε) .
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Ou seja, lim f(x) = L quando e poss´vel tornar f(x) arbitrariamente ı x→a

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proximo de L, desde que se tome x ∈ X suficientemente proximo de a e diferente de a.

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Instituto de Matematica - UFF

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Analise na Reta

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Observacao 1.1 So tem sentido escrever x→a f(x) = L quando a ∈ X ,
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lim pois se a ∈ X , todo numero real L seria limite de f(x) quando x tende
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para a.
De fato, como a ∈ X , existe δ0 > 0 tal que (X − {a}) ∩ (a − δ0 , a + δ0 ) = ∅.
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Entao, para cada ε > 0 dado, existe δ = δ0 > 0, tal que
∅ = f ( (X − {a}) ∩ (a − δ0 , a + δ0 ) ) ⊂ (L − ε, L + ε) , qualquer que seja L ∈ R.
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Observacao 1.2 O ponto a pode pertencer ou nao ao dom´nio X. Mesmo
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quando a ∈ X, o valor f(a) nao interfere na determinacao de lim f(x), pois
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x→a

´ tal limite, quando existe, depende apenas dos valores f(x) para x proximo e diferente de a.
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E poss´vel ter-se lim f(x) = f(a). ı x→a


1 , se x ∈ R − {0}
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Por exemplo, se f : R → R e a funcao definida por f(x) =
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0 , se x = 0 ,
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entao lim f(x) = 1 = 0 = f(0). x→0 ˜
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Observacao 1.3 Se x→a f(x) = L entao L e aderente ao conjunto f(X −
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