lista2

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC

Lista 2 - Bases Matem´ aticas Conjuntos I

1 — Considere o conjunto universo U =
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} e sejam os seguintes subconjuntos
A = {1, 2, 3, 4}
B = {x ∈ U : (x − 2)2 (x − 3) = 0}
C = {x ∈ U : x ´e par}

3 — Dado um conjunto U, sejam A e B subconjuntos quaisquer de U. Tomando o complementar relativamente a U, mostre que:
a) A ⊂ BC se e somente se A ∩ B = ∅
b) AC ∩ B = B\A
c) A ∪ BC = (B\A)C
d) (AC )C = A
e) (A ∩ B)C = AC ∪ BC

Para esses subconjuntos determine:
4 — Dados A, B, C, D subconjuntos. Prove as seguintes afirma¸c˜oes:
a) Se A ⊂ B e B ⊂ C ent˜ao A ⊂ C.
b) Se A ⊂ B e C ⊂ D ent˜ao A ∪ C ⊂ B ∪ D.
c) A ⊂ B se e somente se A ∪ B = B.

a) A ∪ B
b) A ∩ (B ∪ C)
c) C ∪ AC
d) (A ∪ C)C
e) AC ∩ CC
f) ℘(B)

Exerc´ıcios Complementares
2 — Dados A, B, C conjuntos. seguintes afirma¸c˜ oes Prove as

a) A ∩ A = A
b) A ∪ A = A
c) A ∩ B ⊂ B
d) A ⊂ A ∪ B
e) A ∩ B ⊂ A ∪ B

5 — Dados A, B, C, D subconjuntos. Prove as seguintes afirma¸c˜oes:
a) Se ℘(A) = ℘(B) ent˜ao A = B.
b) Se A ∩ B = A ∩ C e A ∪ B = A ∪ C ent˜ ao B = C.
c) A\B ⊂ B se e somente se A\B = ∅.

f) A ∪ ∅ = A
g) A ∩ ∅ = ∅
h) A ∪ (A ∩ B) = A
i) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
j) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
k) ℘(A) ∩ ℘(B) = ℘(A ∩ B)

6 — Suponha A, B, C n˜ao vazios. Mostre que:
a) A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C)
b) Se B ∩ C = ∅, ent˜ao A × (B ∩ C) =
(A × B) ∩ (A × C)
c) Se B\C = ∅, ent˜ao A × (B\C) = (A ×
B)\(A × C)

Respostas dos Exerc´ıcios
1 a.){1, 2, 3, 4} b.){2, 3, 4} e.){5, 7}

que c ∈ A e c ∈ B, ou seja c ∈ A∩B, ou seja C ⊂ A∩B, e logo C ∈ ℘(A ∩ B).

2 a.)Demonstra¸c˜ao que A ∩ A ⊂ A: se x ∈ A ∩ A

4 a.)Se x ∈ A ent˜ao, como A ⊂ B, x ∈ B. Como por

ent˜ ao x ∈ A e x ∈ A logo x ∈ A.
Demonstra¸c˜
ao que A ⊂ A ∩ A: se x ∈ A ent˜ao x ∈ A e x ∈ A logo x ∈ A ∩ A.
d.)Se x ∈ A ent˜ ao x ∈ A ou x ∈ B, logo x ∈ A ∪ B.
g.)Demonstra¸c˜
ao que A∩∅ ⊂ ∅: se x ∈ A∩∅, ent˜ao x ∈ A e x ∈ ∅ logo x ∈ ∅.
Demonstra¸c˜
ao que ∅ ⊂ A ∩ ∅: se x ∈ ∅, ent˜ao por vacuidade temos que x ∈ A e x ∈