lista 4 series de taylor

Lista de Exerc´ ıcios 3 - C´lculo 2 a S´rie de Taylor e Quest˜o 1. Escreva os quatro primeiros termos da s´rie de Maclaurin de f (x) se f (0) = 2, a e f (0) = 3, f (0) = 4, f (0) = 12.
Quest˜o 2. Encontre a s´rie de Maclaurin das fun¸˜es abaixo: a e co (a) f (x) =

1
1−2x

√
(b) cos( x)
(c) ln(1 − 5x)
(d) f (x) =

ex −cos x x Quest˜o 3. Use a multiplica¸˜o para encontrar os quatro primeiros termos da s´rie de a ca e Maclaurin de f (x) = ex sin x.
Quest˜o 4. Encontre a s´rie de Maclaurin de f (x) = a e

√ 1
.
1−x2

Quest˜o 5. Encontre os cinco primeiros termos da s´rie binomial de f (x) = (1 + x)1/3 . a e
Quest˜o 6. Mostre que para |x| < 1, a arctanhx = x +

x3 x5
+
+ ...
3
5

Quest˜o 7. Use a s´rie de Taylor de cos x para calcular cos 1 com erro menor que 10−6 . a e
Use o fato de cos x ser uma s´rie alternada com termos decrescentes para estimar o erro. e Quest˜o 8. Seja F (x) = a x sin t t dt.
0

Mostre que

F (x) = x −

x3 x5 x7
+
−
+ ...
3 · 3! 5 · 5! 7 · 7!

Calcule F (1) com trˆs casas decimais. e Quest˜o 9. Quando uma voltagem ´ aplicada a um circuito em s´rie consistindo em um a e e resistor R e um indutor L, a corrente ni instante t ´ e V
R

I(t) =

(1 − e−Rt/L ).

Expanda I(t) como uma s´rie de Maclaurin. Mostre que I(t) ≈ V t/L, se R for pequeno. e Quest˜o 10. Encontre a S´rie de Maclaurin de f (x) = a e
Quest˜o 11. Calcule 1 − a π2
32 ·2!

+

Quest˜o 12. A fun¸˜o E(k) = a ca

π4
34 ·4!

+ . . ..

π/2
0

√

1
(1−x)(1−2x) .

dt
1−k2 sin2 t

´ a fun¸˜o el´ e ca ıptica de primeira esp´cie. e Prove que para |k| < 1, π π
E(k) = +
2
2

∞ n=1 1 · 3 . . . (2n − 1)
2 · 4 . . . (2n)

2

k 2n .