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etapa 3
Série geométrica
A série geométrica é a série que se obtém quando se tenta somar os infinitos termos de uma progressão geométrica: (veja somatório)
Convergência
da teoria das progressões geométricas, temos que:

É facil ver que se então esta série é convergente e sua soma é dada por:

Por outro lado, se , esta série não pode ser convergente pelo teste do termo geral.
De maneira geral, para qualquer serie geometrica, cujo valor da Razão r seja menor que 1, sua soma é dada por:

Onde "a" é o termo inicial da serie.
Exemplos
Podemos utilizar esta série para calcular algumas séries de Taylor:

Série de Taylor
Em matemática, a série de Taylor é uma série de funções da seguinte forma:

Dito de outra maneira, uma série de Taylor é uma expansão de uma série de funções ao redor de um ponto. Uma série de Taylor de uma dimensão é uma expansão de uma função real ao redor do ponto em que x assume um valor qualquer (digamos, "a"). Neste caso, escrevemos a série da seguinte maneira:1

A constante é o centro da série que pode ser encarada como uma função real ou complexa. Se a = 0, a série também é chamada de Série de Maclaurin (de Colin Maclaurin).
Estas séries devem o seu nome a Brook Taylor que as estudou no trabalho Methodus incrementorum directa et inversa em 1715. Condorcet atribuía estas séries a Taylor e d'Alembert e o nome série de Taylor só começou a ser usado em 1786, por l'Huillier.

Convergência
Toda série de Taylor possui um raio de convergência com a propriedade que a série converge uniformemente em cada bola (circunferência) .
A fórmula de Hadamard fornece o valor deste raio de convergência:

O fato de a série de Taylor convergir não garante que ela convirja para o valor da função f(x); o exemplo clássico desta patologia é a função definida por:

cuja série de Taylor é

Série de Taylor associada a uma função
A série de Taylor associada a uma função infinitamente diferenciável (real ou complexa) definida em um