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Lista de Exercícios Sobre Sequências e Séries
1. Mostre que {xn = cos(πn)} nao tem limite.
2. Enuncie e demonstre o Teorema de Sanduiche para sequências.
√
√
3. Mostre que as seqüencias { n n} e { n a} com a > 0 convergem para 1.
√
n
4. Mostre que lim n! = ∞ n→∞ 5. Determine os quatro primeiros termos de cada seqüência, analise a sua convergência e encontre o limite caso exista:
√
n sen(2n+1)+n n2 en +n2
a) an = n+2
, b) xn = (−1)n+1 en , c) b = n!n , d) yn = (−1)
2n+1
(2n)! , e) cn = e2n −2n , f) tn = x0 = 1

6. Seja a seqüência definida pela recorrência

xn+1 =

sitivo, encontre o seu limite.
7. Verifique a convergência das seguintes séries
(−1)n (n+1)
,
n

(a)
(h)

n! ,

(i)

√1 , n (b)

(c)

2n+1 nn ,

∞ cos(nπ) , n2 (d)

n=1

∞
2n

∞

. Sabendo que ele converge para valor po-

x2n +3
2xn

2+cos n
,
n

(e)

1+(−1)n
,
42n

(f)

cos
√ n, n3 (g)

k=2

(−1)n n+1
, (j) n2 n! nn n=5

8. Podemos aplicar o teste da razão no ítem (f) da questão acima? Justifique.
9. Analise a convergência das seguintes séries através do teste da raiz ou do teste da integral.
∞

(a)

1
,
n2

(b)

(2n)n ,

n+1 n! ,

(c)

(d)

(−1)n n
(2n)n

k=0

10. Obtenha o valor, usando séries geométricas:
∞

(a)

π

1 2n−7
,
2

(b) 2.5 31 31 . . .

n=3
∞

11. Mostre que, se 0 < a0 ≤ a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ · · · então a séries alternada

(−1)n ai diverge. n=0 ∞

(−1)n+1 n 12. Mostre que a séries harmônica alternada

converge e estime o valor com erro máximo de 0.2.

n=1

13. Encontre o centro e o raio de convergência das séries de potências
√
en n
a) (−1)n nxn
b)
x n! 14. Determine o intervalo de convergência
1 n
a)
n!xn
b)
x n! c)

n3
(x − 2)n n+1 √ 3n−5 en (x
−
3)
22n

c)

d)

√ ln n
(x − 2)n n 2

15. Encontre a série de potência de
(a) arctan(x2 ), sabendo que arctan (x) =
(b) arcsenx, usando arcsen x =