limites

L I M I T E S

Noção de Limite de uma Função

Seja a função , definida para todo real diferente de 1. Estudemos os valores da função quando assume valores próximos de 1.

Simplificando a expressão, obtemos Atribuindo a valores próximos de 1, porém menores que 1, temos:

0
0,5
0,75
0,9
0,99
0,999

1
2
2,5
2,8
2,98
2,998

Se atribuirmos a valores próximos de 1, porém maiores que 1, temos:

2
1,5
1,25
1,1
1.01
1,001

5
4
3,5
3,2
3,02
3,002

Observemos que em ambas as tabelas, mesmo que a função não exista para , quando se aproxima de 1, a função aproxima-se de 3.

Podemos também verificar graficamente o comportamento da função.

Embora a função não exista para , nos dois casos quando se aproxima de 1 a função se aproxima de 3 dizemos então que quando tende a 1, o limite da função é 3.

Em símbolos, temos:

Observamos nos dois casos que as diferenças ficam cada vez menores, quando se aproxima de 1, e as diferenças ficam cada vez menores quando se aproxima de 3.

Podemos tornar tão próximo de 3 quanto desejarmos, contanto que façamos suficiente próximo de 1.

Podemos então definir agora o limite de uma função:

Definição de Limite

Uma função tem para limite quando tende para um valor e escrevemos

se pudermos tornar os valores de arbitrariamente próximos de (tão próximos de quanto quisermos), tomando suficiente próximos de (por ambos os lados de ), mas não igual a .

Obs: É importante ter sempre em mente no cálculo de limites da função que interessa é o comportamento da função quando se aproxima de e não o que ocorre com a função quando

A definição acima é uma definição de Limites numa linguagem corrente, vamos agora ver uma definição mais precisa de Limites.

Observamos nos dois casos que as diferenças ficam cada vez menores, quando se aproxima de 1, isto é, dado suficiente pequeno temos: .

E as