LIMITES

Centro Universitário UNA – Instituto Politécnico

Limites

Noção intuitiva de limite
Definição informal de limite: seja f (x ) uma função definida nas proximidades de um ponto a (não necessariamente em a). Se f (x ) aproxima-se indefinidamente de um único número fixo L quando x se aproxima indefinidamente de a pela esquerda e pela direita (mas x ≠ a ) então L é o limite de f ( x ) quando x tende a a. Em símbolos matemáticos escrevemos:

lim f ( x) = L x →a

Leia-se: “limite de f (x ) quando x tende a a é igual a L.”

Figura 1 – Limite de uma função

Exemplo 1
Como se comporta a função f ( x) = x

2

nas proximidades de x = 3 ?
Observando o gráfico desta função, vemos que f(x) se aproxima de 9 quando x se aproxima de 3, pela esquerda ou pela direita, de modo que podemos escrever

lim ( x 2 ) = 9 . x →3

Figura 2 – Gráfico e o limite da função

f ( x) = x 2

Vamos analisar o comportamento da função quando x está próximo de 3 (mas x ≠ 3 ), utilizando, agora, a seguinte tabela. x tende a 3 pela esquerda

x tende a 3 pela direita

3

x

2,9000

2,9900

2,9990

2,9999

......

3,0001

3,0010

3,0100

3,1000

f (x )

8,4100

8,9401

8,9940

8,9994

......

9,0006

9,0060

9,0601

9,6100

f(x) tende a 9

9

f(x) tende a 9

Centro Universitário UNA – Instituto Politécnico
Cálculo Diferencial - Prof. Ronald Buere
Limites

Observando a tabela vemos que quando x se aproxima cada vez mais de 3, pela esquerda(1)
(por valores menores que 3) ou pela direita(2) (por valores maiores que 3), o valor da função fica cada vez mais próximo de 9. Em símbolos matemáticos escrevemos:

lim ( x 2 ) = 9 x →3

Obs.: Limites laterais
2

(1) Chamamos de limite lateral esquerdo e escrevemos lim− ( x ) = 9 ; x →3

2

(2) Chamamos de limite lateral direito e escrevemos lim+ ( x ) = 9 . x →3

2

2

2

Quando escrevemos lim ( x ) = 9 , estamos garantindo que lim− ( x ) = lim+ ( x ) = 9