limites

NOÇÃO INTUITIVA DE UM LIMITE

Seja a função f(x)=2x+1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor correspondente de y:

x y = 2x + 1
1,5
4
1,3
3,6
1,1
3,2
1,05
3,1
1,02
3,04
1,01
3,02

X y = 2x + 1
0,5
2
0,7
2,4
0,9
2,8
0,95
2,9
0,98
2,96
0,99
2,98

Notamos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja,quando x tende para 1 (x 1), y tende para 3 (y 3), ou seja:

Observamos que quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da função é 3.
Esse é o estudo do comportamento de f(x) quando x tende para 1 (x 1). Nem é preciso que xassuma o valor 1. Se f(x) tende para 3 (f(x) 3), dizemos que o limite de f(x) quando x 1 é 3, embora possam ocorrer casos em que para x = 1 o valor de f(x) não seja 3.
De forma geral, escrevemos:

se, quando x se aproxima de a (x a), f(x) se aproxima de b
(f(x)b).

Como x² + x - 2 = (x - 1)(x + 2), temos: Podemos notar que quando x se aproxima de 1 (x1), f(x) se aproxima de 3, embora para x=1 tenhamos f(x) = 2. o que ocorre é que procuramos o comportamento de y quando x1. E, no caso, y 3. Logo, o limite de f(x) é 3.
Escrevemos:

Se g: IR IR e g(x) = x + 2, g(x) = (x + 2) = 1 + 2 = 3, embora g(x)f(x) em x = 1. No entanto, ambas têm o mesmo limite.

PROPRIEDADES DE UM LIMITE

1ª O limite da soma é a soma dos limites. O limite da diferença é a diferença dos limites. Exemplo:

2ª

O limite do produto é o produto dos limites. Exemplo:

3ª O limite do quociente é o quociente dos limites desde que o denominador não seja zero. Exemplo:

4ª

Exemplo:

5ª

Exemplo:

6ª

Exemplo:

7ª

Exemplo:

8ª