limite euler

O declive da secante ao gráfico de f que passa pelos pontos (x,f(x)) e (x + h,f(x + h)) é dado pelo quociente de Newton:
\frac{f(x+h)-f(x)}h.
Uma definição alternativa é: a função f é derivável em a se existir uma função φa de I em R contínua em a tal que
(\forall x\in I):f(x)=f(a)+\varphi_a(x).(x-a).
Então define-se a derivada de f em a como sendo φa(a).
Funções com valores em R^n[editar | editar código-fonte]
Se I for um intervalo de R com mais do que um ponto e se f for uma função de I em \mathbb{R}^n, para algum número natural n, as definições anteriores continuam a fazer sentido. Assim, por exemplo a função
\begin{array}{rccc}f\colon&\mathbb{R}&\longrightarrow&\mathbb{R}^2\\&x&\mapsto&(\cos(x),\operatorname{sen}(x))\end{array} (ou seja: uma função que a cada x do domínio em \mathbb{R} responde com uma coordenada no contradomínio em \mathbb{R}^n. Esta coordenada é (cosx,senx)). é derivável e
(\forall x\in\mathbb{R}):f'(x)=(-\operatorname{sen}(x),\cos(x)).
De facto, as propriedades acima descritas para o caso real continuam válidas, excepto, naturalmente, as que dizem respeito à monotonia de funções.
Diferenciabilidade[editar | editar código-fonte]

Derivabilidade num ponto[editar | editar código-fonte]
Seja I um intervalo de R com mais do que um ponto, seja a ∈ I e seja f uma função de I em R derivável em a. Então f é contínua em a. O recíproco não é verdadeiro, como se pode ver pela função módulo.
Seja I um intervalo de R com mais do que um ponto, seja a ∈ I e sejam f e g funções de I em R deriváveis em a. Então as funções f ± g, f.g e (caso g(a) ≠ 0) f/g também são deriváveis em a e:
(f\pm g)'(a)=f'(a)\pm g'(a)
(f.g)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)
(f/g)'(a)=\frac{f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{g(a)^2}
Em particular, se c ∈ R, então (c.f)'=c.f'. Resulta daqui e de se ter (f+g)'=f'+g' que a derivação é uma aplicação linear.
Sejam I e J intervalos de R com mais do que um ponto, seja a ∈ I, seja f uma função de I em J derivável em a e seja seja g uma função de