numerode euler

Número de euler Na matemática, o numero de euler é assim chamado em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, é à base dos logaritmos naturais. O número de euler, e=2,71828... são uma sequencia e n de inteiros de definidos pela expansão de taylor .

As variantes do nome do número incluem: número de Napier, constante de néper, número neperiano, constante matemática, numero exponencial etc.. A primeira referência à constante foi publicada em 1618 na tabela de um apêndice de um trabalho sobre logaritmos de Jonh Napier. No entanto, estes não contem a constante propriamente dita, mas apenas uma simples lista de logaritmos naturais calculados a partir desta. A primeira indicação da constante foi descoberta por Jakob Bernoulli, quando tentava encontrar um valor para a seguinte expressão (muito comum no cálculo de juros compostos). Para , ou seja:

A sequencia do termo geral é convergente .então, o número e como sendo o limite de tal sequencia.

Para provar a convergência , de tal sequencia ,é suficiente provar que ela é crescente existe m>0 tal que an para todo n 1.

Deve ser dito que euler não provou rigorosamente a existência do limite. Ele apresentou outras formulações para o numero irracional e vale aproximadamente 2,718 281 828 458 045 235 360 287. O número x0 também pode ser escrito por meio da série de taylor para quando x=1, como a soma da série infinita:

Aqui n! Representa o fatorial de n. Pode-se ainda definir e como sendo o único número x> 0 tal que:

O número e apresenta um interesse particular porque pode-se demonstrar que para todo real x, exp (x)= ex (e na potencia x);
Assim, por exemplo, tem–se : Ou ainda

O número e é um número irracional e mesmo transcendente (como pi). A irracionalidade de e foi demonstrada por lambert em 1761 e mais tarde por euler. A prova da transcendência de e foi estabelecida por hermite em 1873. Conjecturou-se que e é um número normal ou aleatório.