Introducao As Equacoes Diferenciais

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL
FACULDADE DE MATEMÁTICA - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

4113E-04 Equações Diferenciais
Profa. Vera Lúcia Lupinacci
Aula 1 – Introdução às Equações Diferenciais
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1. Terminologia e Definições Básicas
Sabemos que, dada uma função y = f (x), a sua derivada , é uma função de x e é obtida por regras de derivação apropriadas. Por exemplo, se , então sua derivada é a funçãoou . Neste curso resolveremos a seguinte questão: dada uma equação como , queremos encontrar, de algum modo, uma função que satisfaça a equação. Ou seja, queremos resolver equações diferenciais.

1.1 Definição: Equação Diferencial
Uma equação que contém as derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis dependentes, em relação a uma ou mais variáveis independentes, é denominada equação diferencial (ED).

Equações diferenciais são classificadas de acordo com o tipo, a ordem e a linearidade. 1.2 Classificação pelo tipo: Equação Diferencial Ordinária (EDO). Equação Diferencial Parcial (EDP).

1.3 Classificação pela ordem: A ordem da derivada de maior ordem em uma equação diferencial é, por definição, a ordem da equação.

Uma equação diferencial ordinária de n-ésima ordem é freqüentemente representada por

1.4 Classificação como Linear ou Não-Linear:
Uma equação diferencial é chamada linear quando pode ser escrita na forma
.
Note que as equações diferenciais lineares se caracterizam por duas propriedades:

a) A variável dependente y e suas derivadas são do primeiro grau, ou seja, a potência de cada termo envolvendo y é 1;
b) Cada coeficiente depende apenas da variável independente x.
Uma equação que não é linear é dita não-linear. Exemplos:

As três primeiras equações são EDO lineares de primeira, segunda e terceira ordens, respectivamente. As duas últimas equações são EDO não-lineares de segunda e terceira ordens,