Integração funções racionais

Matemática 1

Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL

Integrais impróprios.
Na definição do integral definido consideramos que a função integranda f (x) é finita em todos os pontos do intervalo limitado e fechado I = [ a , b ] . Em diversas situações torna-se indispensável considerar integrais com intervalos de integração ilimitados ou com funções integrandas ilimitadas. Neste caso obtém-se um alargamento da noção do integral definido e os integrais de novo tipo são chamados integrais impróprios. Definição 1. Seja: a) a função f (x) definida em I = [ a , + ∞ [ , b) a função f (x) integrável em qualquer segmento [ a , b ], b > a . Se existir o limite finito

lim ∫ f ( x) dx b→+∞ a

b

então este limite chama-se integral impróprio de 1a espécie da função f ( x) em

I = [ a , + ∞ [ e denota-se por

+∞

∫ f ( x) dx . a +∞

Portanto pela definição tem-se:

∫ f ( x) dx = lim ∫ f ( x) dx . a a b→+∞ a +∞

b

Diz-se que o integral impróprio de 1 espécie da função f ( x) , convergente) se existe o limite finito

∫ f ( x) dx , existe (ou é a lim ∫ f ( x) dx . b→+∞ a

b

Caso o limite não existe ou é infinito diz-se que o integral impróprio de 1a espécie da função f ( x) não existe ou é divergente. Analogamente tem-se:

Definição 2. Seja: a) a função f ( x) definida em I = ] − ∞ , b ] , b) a função f ( x) integrável em qualquer segmento [ a , b ], a < b . Se existir o limite finito

lim ∫ f ( x) dx a→−∞ a

b

então este limite chama-se integral impróprio de 1a espécie da função f ( x) em

I = ] − ∞ , b ] e denota-se por

−∞

∫ f ( x) dx . ∫ b b

Portanto pela definição tem-se:
−∞

f ( x) dx = l im ∫ f ( x) dx . a→−∞ a

b

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Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL

Na base das definições 1 e 2 obtém-se:

Definição 3. Seja: a) a função f ( x) definida em R = ] − ∞ , + ∞ [ ,
b) para qualquer c ∈ R existem os integrais impróprios Então
+∞ −∞ +∞ −∞

∫

c

+∞

f ( x) dx e

∫ f ( x) dx .
c