Integral De Riemann

FACULDADES METROPOLITANAS UNIDAS
CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO
CAMPUS BRIGADEIRO

INTEGRAL DE RIEMANN
KARL MARX ALEXANDER SANTANA OLIVEIRA

São Paulo
Maio/2015
1. Integral de Riemann ou Definida
A integral de Riemann de uma função f(x) em um intervalo [a,b], é o equivalente a soma dos elementos sob a curva. Sendo b > a, podemos realizar a decomposição desse intervalo em n partes menores o obtendo o conjunto P = {}, temos que a soma dos elementos pode ser dada como:

Denominada soma de Riemann, onde é a variação da abscissa ou medida das partições, e é o valor correspondente na função. Adotando como o valor aproxima-se por valores a esquerda, enquanto adotando-se como valor , aproxima-se por valores a direita, podemos também adotar a aproximação por ponto médio, onde assume o valor de , o ponto médio entre .
A partir destas aproximações, quanto menor for o valor de melhor sera a aproximação da integral, sendo que no limite desta teremos a integral perfeita:

Assim, se uma função é continua no intervalo [a,b], e o limite da soma de Riemann existe para este intervalo, então esta função é integrável no sentido de Riemann. Esta integral é chamada de integral de Riemann.
1.1. Regra do Trapézio
Existe uma outra aproximação da integral de Riemann resultante da média entre os métodos de aproximação pela esquerda e pela direita. Ao ligarmos por uma reta os pontos e do intervalo [a,b], obteremos n trapézios que aproximam a integral da curva. Sendo a área dos trapézios dada por , Somando todas temos:

Realizando a média entre os métodos de aproximação pela esquerda e direita obtemos:

Provando que as duas são equivalentes.

1.2. Erros de aproximação
Existem funções em que é impossível obter a integral exata para um intervalo [a,b], ao valor de discrepância que precisa ser adicionado a aproximação para torna-la exata damos o nome de erro. Existem algumas afirmações que são verdadeiras na maioria dos casos de aproximação:
1- As aproximações são mais precisas quando