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Integral de Riemann

No ramo da matemática conhecido como análise real, a integral de Riemann, criada por Bernhard Riemann, foi a primeira definição rigorosa de uma integral de uma função em um intervalo. Enquanto a integral de Riemann é inadequada para muitos propósitos teóricos, ela é uma das definições mais fáceis de integral. Algumas deficiências destas técnicas podem ser remediadas pela integral de Riemann-Stieltjes, e a maioria delas desaparece na integral Lebesgue.

Figura 2
Seja uma função não negativa válida para os números reais do intervalo , e seja uma região plana sob a função e acima do intervalo (veja a figura 2). O nosso interesse é medir a área de . Uma vez realizada esta medição, iremos denotá-la por:

A ideia básica de integral de Riemann é muito simples de usar e não deixa ambiguidade para a área de . Para se ter uma aproximação cada vez melhor, nós podemos dizer que "no limite" iremos obter exatamente a área de sob a curva.
Note que onde pode ser positivo e negativo, a integral corresponde à "área com sinal"; isto é, a área acima do eixo é positiva e a área abaixo do eixo negativa.

Uma soma de Riemann. O número na parte superior representa a soma das áreas dos retângulos azuis. O valor converge para o integral da função.

Definição da integral de Riemann
Partições de um intervalo

Uma partição de um intervalo é uma sequência finita . Cada é denominado como um sub-intervalo da partição. A malha de uma partição é definida como o comprimento do mais longo sub-intervalo , isto é, aquele em que onde . Isto também é conhecido como norma de partição.
Uma partição de um intervalo etiquetado é uma partição de um intervalo juntamente com uma sequência finita de números sujeito a condição que para cada , . Em outras palavras, isto é uma partição juntamente com um ponto distinto para cada sub intervalo. A malha de uma etiqueta é definida da mesma forma que para uma partição ordinária.
Suponha que juntamente com são