Matemática

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Que ´ integral e

Integral de Riemann
Praciano-Pereira, T

Departamento de Matem´tica a Universidade Estadual Vale do Acara´ u 11/07/2007 [e-mail] pr´prints do Curso de Matem´tica de Sobral e a no. 2007-01 Editor Tarcisio Praciano-Pereira [e-mail]
Resumo Neste trabalho estou mostrando como podemos definir a integral no sentido de Riemann como uma classe de equivalˆncia de sucess˜es de Caue o chy. Para isto mostro um isomorfismo de ordem entre uma classe de parti¸˜es de um intervalo [a, b] e a classe de todas as somas de Riemann co de uma fun¸˜o real definida em [a, b], ca [a, b] :−→ R As fun¸˜es integr´veis no sentido de Riemann produzem sucess˜es com co a o suas somas de Riemann que se encontram todas numa unica classe de ´ equivalˆncia de sucess˜es de Cauchy, um unico n´mero real que recebe a e o ´ u b R designa¸˜o f (x)dx ca a f

Para que se tenha uma id´ia clara de que esta se¸˜o ´ um resumo, a resposta do e ca e que ´ integral se encontra em [3] no cap´ e ıtulo 1 ou ao longo de v´rios cap´ a ıtulos de [2]. Seguindo as id´ias inovadoras do come¸o do s´culo 20 que desembocaram no e c e trabalho de Schwartz, artigo publicado por volta de 1945 ou a vers˜o expandida, a [4], uma integral (no sentido de Daniel) ´ uma forma linear. Quer dizer que se e f estiver definida no intervalo [a, b], para cada a ∈ [a, b] f → f (a) ∈ R (1)

´ um tipo de integral da fun¸˜o f porque satisfaz `s propriedades de linearidade. e ca a Se forem escolhidos n pontos a1 , . . . , ak ∈ [a, b] a express˜o a n f→ k=1 f (ak )

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generaliza (1) sendo tamb´m uma integral. e Se o leitor estiver dando os seus primeiros passos em An´lise Matem´tica a a ou terminando um curso de C´lculo, pode ficar chocado com estes exemplos a e de alguma forma ´ o meu objetivo. O que vou discutir aqui ´ um m´todo e e e de integra¸˜o produzido por matem´ticos do s´culo 18, atribuido a Riemann, ca a e Newton, Leibniz com a contribui¸˜o de in´ meros outros cujos