Integrais de riemann

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Integral de Riemann

2. Bibliograa:
• James Stewart - Cálculo, V.1 e 2 • Hamilton Luiz Guidorizzi - Um curso de cálculo, V.1, 2, 3 e 4. • Diva Marília Fleming, Mirian Buss Gonçalves - Cálculo A e B. • Howard Anton - Cálculo: um novo horizonte, V.1 e 2. • Earl W. Swokowski - Cálculo com Geometria Analítica, V.1 e 2.

Aula 1: Integral de Riemann - Apostila página 2 até 15

• Problema da área de uma região delimitada pelo gráco de funções.

Ideia: aproximação por áreas de retângulos inscritos e circunscritos.
Exemplo 1:

Seja R a região delimitada pelo gráco de y = x2 + 1, y = 0, x = 1 e x = 4. Determine uma aproximação para a área de R usando 1. 1 retângulo inscrito e 1 circunscrito; 2. 3 retângulos inscritos e 3 circunscritos; 3. n retângulos inscritos e n circunscritos, n ≥ 1.
• Expressões para somas de números naturais: k(k + 1) 2 k(k + 1)(2k + 1) 2. 12 + 22 + 32 + · · · + k2 = 6 k 2 (k + 1)2 3. 13 + 23 + 33 + · · · + k3 = 4 k(k + 1)(6k 3 + 9k 2 + k − 1) 4. 14 + 24 + 34 + · · · + k4 = 30

1. 1 + 2 + 3 + · · · + k =

• Denição de soma superior, inferior, somas de Riemann, função integrável. • Observações:

1. f (x) ≥ 0 a integral calcula a área; 2. f (x) ≤ 0 integral calcula o negativo da área;
• Propriedades da integral denida: Sejam f e g funções integráveis em [a, b]. Temos, ∫ b 1. kdx = k(b − a);

2. 3.

∫ ∫

a b

∫ kf (x)dx = k a b

f (x)dx; ∫ a b

a b

∫ f (x)dx ± a b

[f (x) ± g(x)]dx = a g(x)dx ∫ a b

4. se f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ [a, b], então

∫ f (x)dx ≤ a b

g(x)dx; ∫ a b

5. se m ≤ f (x) ≤ M para todo x ∈ [a, b], então m(b − a) ≤ 6. se c ∈ [a, b], então 7. 8.
∫ ∫ a b a

f (x)dx ≤ M (b − a);

∫ a b

∫ f (x)dx = a c

∫ f (x)dx + c b

f (x)dx;

f (x)dx = 0; ∫ f (x)dx = − a b a

f (x)dx. ∫
3 −1

Exemplo 2:

Use retângulos inscritos para determinar o valor de

(4 − x4 )dx, sabendo que f (x) = 4 − x2 é

integrável.
Solução:

A região de