398404 Integral Definida Soma Riemann TFC AREA 2014

INTEGRAIS DEFINIDAS
Cálculo I

Thomas- Capítulo 5 – Volume I
Profa. Tatiana Leal Barros

PROBLEMA
Como encontrar a área de uma região R acima do intervalo [0,1] do eixo x e abaixo da curva y=1-x2 ?

OBSERVAÇÃO:
Tal área pode representar, por exemplo:
 “trabalho”;
“probabilidade”.
Depende do que representa a função f(x).

VOLTANDO AO PROBLEMA
Exemplo: Como encontrar a área de uma região R acima do intervalo [0,1] do eixo x e abaixo da curva y=1-x2 ?
1º Fazer esboço (abaixo).

Note que não há uma fórmula simples para tal área.
IDÉIA
Usar áreas conhecidas, como de retângulos.

Note que o erro diminui a medida que aumentamos a quantidade de retângulos.

Note que o erro “diminui”se usarmos o ponto médio:

Quando aumentamos a quantidade de retângulos, estamos diminuindo a base de tais retângulos.

Nesse caso são bases iguais, medindo 1/16.

O valor aproximado da área usando retângulos:

REVISANDO SOMATÓRIO:

Alguns somatórios importantes:

Para formalizarmos o conceito de

Integral Definida , que tem sua motivação inicial no cálculo da

área sob uma curva, precisamos de conhecer as Somas de Riemann.

SOMAS DE RIEMANN:
Processo para encontrarmos as Somas de Riemann.
1º Fazemos partição do intervalo [a, b] em n subintervalos.

2º Em cada subintervalo [ xk 1, xk ] selecionamos um ponto, chamamos o ponto escolhido no k-ésimo subintervalo de
.

c

k

Note que o ponto ck escolhido tem que estar no k-ésimo subintervalo, mas pode “qualquer” ponto, como o ponto da direita, da esquerda ou ponto médio.

3º Em cada subintervalo [ x , x ] construímos um retângulo que tem esta base no eixo x e toca a curva em (c , f (c )).
Esses retângulos podem estar acima ou abaixo do eixo x, dependendo f (c ) de ser positiva ou negativa. k 1

k

k

k

k

Quando f (c )  0 , o produto de altura f (c ) .

f (c )x

Quando f (c )  0 , o produto do retângulo.

f (c )x

k

k

é a área do retângulo k k

k

k

é o oposto da área k 4º Por fim, somamos todos estes produtos e obtemos