Integrais improprios
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INTEGRAIS IMPRÓPRIOSAté agora referimo-nos a integrais da forma
I = ∫ f ( x ) dx b a
Onde f representa uma função contínua em [ a, b] (fechado e finito). Deste modo, a referida função é limitada, obtendo-se um valor finito para I. Dizemos nestes casos que o integral é próprio.
Vamos em seguida considerar os casos em que:
(i) a = −∞ ou b = +∞ ou ambos.
(ii) f não é limitada quando x → a ou x → b (ou ambos); ou quando x → c com
c ∈ [ a, b ]
Tais integrais dizem-se impróprios.
1. INTEGRAIS IMPROPRIOS DA 1ª ESPÉCIE.
Definição 1:
I)
Seja f uma função contínua e integrável no intervalo [ a, +∞[ , o integral impróprio de f nesse intervalo é dado por:
∫
+∞
a
II)
f ( x ) dx = lim∫
M →+∞
M
a
f ( x ) dx
Seja f uma função contínua e integrável no intervalo ]−∞,b] , o integral impróprio de f nesse intervalo é dado por:
∫
b
−∞
f ( x ) dx = lim∫ f ( x ) dx b M →−∞
M
Em ambos os casos o integral diz-se:
Convergente se o limite existir (e se for, portanto um valor finito)
Divergente se o limite não existir ou se for um valor infinito
Se o integral impróprio tem os dois limites de integração infinito:
+∞
∫
−∞
f ( x ) dx = ∫
0
−∞
f ( x ) dx + ∫
+∞
0
f ( x ) dx
O integral impróprio será convergente se e só se ambos os integrais convergirem. Caso contrário diz-se que o integral impróprio é divergente.
EXEMPLOS:
1. Determine a natureza dos seguintes integrais impróprios:
(a)
∫
+∞
1
4 dx x2
(b)
∫
+∞
−∞
x dx 2 x +1
∫
(c)
+∞
1
1 dx x ln x
(d)
∫
+∞
−∞
e− x dx e −2 x + 1
2. Esboce a região limitada pelas condições seguintes e determine a sua área.
(a) y ≤
1
, y ≥ 0 e x ≤ −2 x2 (b) y ≤ e − x , y ≥ 0 e x ≥ −2
2. INTEGRAIS IMPROPRIOS DA 2ª ESPÉCIE.
Definição 2:
III)
Seja f uma função contínua e integrável no intervalo ]a, b] , o integral impróprio de f nesse intervalo é dado por: