Engenheiro Eletricista

INTEGRAL DEFINIDO
O conceito de integral definido está relacionado com um problema geométrico: o cálculo da área de uma figura plana.

Vamos começar por determinar a área de uma figura delimitada por duas rectas verticais, o semi-eixo positivo dos XX e por uma dada função y = f (x) .
Definição:
Seja f uma função, real de variável real, definida num intervalo
[a, b]. Chama-se partição P desse intervalo a qualquer decomposição de [a, b] em n subintervalos da forma xi tais que: a = x0 < x1 < x2 <
< xn = b .
Definição:
Seja f uma função, real de variável real, definida num intervalo
[a, b] e P uma partição desse intervalo. Chama-se Soma de Riemann de f em relação à partição P, a toda a expressão da forma: n i =1

f ( wi )∆xi ,

onde wi é um valor qualquer do intervalo xi .

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Definição:
Seja f uma função, real de variável real, definida num intervalo
[a, b] e P uma partição desse intervalo. Chama-se integral definido de b f desde a até b e escreve-se f ( x) dx , ao limite tal que a b

n

f ( x) dx = lim

P → 0 i =1

a

f ( wi )∆xi ,

onde wi é um valor do intervalo ∆ xi .
NOTAS:
1) Se tal limite existe então dizemos que f é integrável no intervalo
[a, b].
2) A a e a b chama-se limites de integração: a → limite inferior do integral; b → limite superior do integral.

3) Sempre que utilizamos um intervalo [a, b] supomos que a < b . Mas a definição anterior pode ser estendida ao caso a > b: b a

a

f ( x) dx = − f ( x) dx . b a

Como consequência imediata temos o resultado seguinte: f ( x) dx = 0 . a 45

O teorema que se segue transforma o difícil problema de calcular integrais definidos por meio de cálculo de limites de somas, num problema bem mais fácil que se resume, praticamente, na determinação de uma primitiva da função dada.
Teorema Fundamental do Cálculo:
Seja f uma função, real de variável real, contínua definida num intervalo [a, b]. Se F é a sua primitiva então b f ( x) dx =