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Matemática I (191) - 2012/13

Matemática I

Departamento de Matemática
Faculdade de Ciências
Universidade do Porto

Ano lectivo 2012/13

0.0 -

1

Bibliografia

Spivak, M. Calculus
Stewart, J. Calculus www.stewartcalculus.com Chaves, G. Cálculo Infinitesimal (disponível na página da disciplina) Anton, H., Rorres, C. Elementary Linear Algebra
Monteiro, A. Álgebra Linear e Geometria Analítica www.atractor.pt (WebMathematica, Materiais produzidos pelo Atractor) slides das aulas e folhas de exercícios disponíveis na internet

Matemática I (191) - 2012/13

0.0 -

3

Sistemas de equações lineares

Sistema de m equações lineares a n incógnitas:

 a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1


 a x + a x + ··· + a x = b
21 1

22 2

2n n

2

 ···




am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm

Diz-se que o sistema é homogéneo sse todos os bj são nulos.

(c1 , . . . , cn ) é solução do sistema se substituindo cada xj por cj se obtêm igualdades verdadeiras.
Dois sistemas dizem-se equivalentes sse tiverem o mesmo conjunto de soluções.

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1.1 Sistemas de equações lineares e matrizes - Resolução de sistemas pelo método de Gauss

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Exemplos: sistemas
3x1 + x2 − x3 = 1 é um sistema não homógeneo
2x2 + 5x3 = 7 x1 − x2 + 7x3 = 0 é um sistema homogéneo x2 + 5x4 = 0
4x1 − 3x2 + x3 − 1 = 0 não é um sistema homogéneo x1 − 3x2 = 0
−2x1 + x3 = 5x4 é equivalente a
2x2 = 3x1

−2x1 + x3 − 5x4 = 0
, que é um sistema homogéneo.
3x1 − 2x2 = 0

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1.1 Sistemas de equações lineares e matrizes - Resolução de sistemas pelo método de Gauss

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Exemplos: soluções de sistemas

(2, 1) é uma solução do sistema


 2x1 + x2 = 5


3x = 3

2

 x −x =1
1
2

 2x1 + x2 = 5


(0, 0) não é uma solução do sistema

3x = 3

2

 x −x =1
1
2

Todos os pares (a+1,2a), com a ∈ R são soluções do sistema
2x1 − x2 = 2
−2x1 + x2 = −2