integrais duplas

Mudanças de Coordenadas em Integrais Duplas e
Coordenadas Polares
Felipe Pereira Heitmann www.felipeheitmann.com Mudanças de Coordenadas
• Uma mesma região pode ser representada em coordenadas diferentes.

X e Y como funções e u e v
• Para fazer a mudança entre coordenadas é necessário escrever os termos X e Y em função das novas variáveis u e v.

Reescrevendo a integral

Transformando Regiões em retângulos
• Mudanças de coordenadas tentam transformar regiões complicadas em retângulos. Coordenadas Polares
• Transformando círculos em retângulos

Escrevendo em coordenadas polares

Identidade cartesiano polar

Calculando o Jacobiano polar

Roteiro para mudança de coordenadas
1. Reescrever a função substituindo e
.
2. Reinterpretar região pela abertura dos ângulos e medida dos raios.
3. Reescrever a integral, lembrando do
Jacobiano, ou seja, multiplicar a função por R antes de integrar.
4. Resolver a Integral Dupla normalmente.

Stewart(2001)-Pg. 988- Exercício 17
• Calcule a integral dupla onde D é limitada pelo círculo de centro na origem e raio 2.

1) Reescrevendo a função em polares
• Sabemos a expressão que relaciona x,y em termos de coordenadas polares:
• Fazendo a substituição na nossa função de x e y, temos o seguinte:

• Essa é a nova função que utilizaremos.

2) Reinterpretando a região
• Nosso problema está sobre uma região circular. Precisamos escrevê-la em termos do raio e do ângulo de abertura.

3) Reescrevendo a integral
• Tendo a função reescrita em polares e a região reinterpretada em polares, vamos montar a integral dupla, lembrando de multiplicar a função por r.

4) Resolvendo a Integral

Thomas(2007)-Pg. 384-Exercícios
Mude as coordenadas de cartesianas para polares e resolva a integral dupla por coordenadas polares.

Thomas(2007)-Pg. 384-Exercícios
Mude as coordenadas de cartesianas para polares e resolva a integral dupla por coordenadas polares.