calculo integral dupla
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Calculo Integral IIProfessora Roberta Porto
2013
INTEGRAIS DUPLAS
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INTEGRAIS DUPLAS
Se f for contínua no retângulo R = { (x,y) | a < x < b, c < y < d }, então calculamos a integral dupla de f em R através de integrais iteradas, como mostrado abaixo:
INTEGRAIS DUPLAS
Exemplo 1: Qual o volume do sólido que está acima do quadrado R =
[0,2] x [0,2] e abaixo do parabolóide elíptico z = 30 – x2 – 2y2
INTEGRAIS DUPLAS
Exemplo 2: Calcule o valor da integral
x 2 ydA , onde R = [0,3] x [1,2]
R
INTEGRAIS DUPLAS
Exemplo 3: Calcule
y sen(xy)dA
, onde R = [1,2] x [0,].
R
Ob.: ordem de integração.... observar o tipo de função.... fazer uma boa escolha da ordem de integração. INTEGRAIS DUPLAS
Exemplo 3: Calcule
y sen(xy)dA
, onde R = [1,2] x [0,].
R
2) O valor obtido nesta integral representa a diferença do volume da parte do sólido que está acima do retângulo R e do volume da parte do sólido que está abaixo de R. Como o resultado foi zero, estes volumes são iguais.
INTEGRAIS DUPLAS
Exemplo 4: Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo parabolóide elíptico x2 + 2y2 + z = 20, os planos x = 2 e y = 2 e os três planos coordenados. INTEGRAIS DUPLAS
1) Regiões planas inscritas em faixas verticais:
D = { (x,y) | a < x < b, g1(x) < y < g2(x) b g2 (x)
f (x, y)dA f (x, y)dydx
D
a g1 ( x )
INTEGRAIS DUPLAS
1) Regiões planas inscritas em faixas horizontais:
D = { (x,y) | c < y < d, h1(y) < x < h2(y) } d h2 (x)
f (x, y)dA f (x, y)dxdy
D
c h1 ( x )
INTEGRAIS DUPLAS
Exemplo 5: Calcule
(x 2y)dA
D
onde D é a região limitada pelas parábolas
y = 2x2 e y = 1 + x2
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Exemplo 5: Calcule
(x 2y)dA
D
onde D é a região limitada pelas parábolas
y = 2x2 e y = 1 + x2
INTEGRAIS