Aplica O De Integrais Duplas

CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
JOSÉ ANTONIO LOURENÇO FILHO

CALCULO II

APLICAÇÃO DE INTEGRAIS DUPLAS
MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

JABOATÃO DOS GUARARAPES

Integrais Duplas
Conceito
Ao se considerar uma função, delimitada e fechada em uma região D, podemos “encher” D com formas simples como paralelepípedos. Podemos transformar o volume em uma somatória:

Ao que se aproximado volume da região D, a diagonal desses paralelepípedos diminui continuamente, tendendo a 0 conforme o numero de paralelepípedos tende ao infinito, resultando em um limite:

Quando este limite existir, haverá uma integral dupla da função na região D, que pode ser expressa por:
APLICAÇÃO
Calculo de Área
Considerando a fórmula do volume e que integrais duplas podem ser usadas para a obtenção de volume, temos h sendo dado pela função f(x,y). Em casos específicos em que f(x,y) = 1, temos e nesse caso, pela mesma fórmula que se obtém o volume, se obtém também a área.Momento de Inércia
O momento de inércia é dado por , sendo m sua massa e r sua distancia do eixo. Ao se estender essa idéia para , sendo está a densidade continua de uma região D e aplicar o conceito de integrais duplas, temos o momento de inércia para uma distribuição de massa continua.
Podemos então definir o ponto de inércia em relação à origem, também chamado de momento polar da inércia ou momento de inércia em torno do eixo z.

Centro de Massa
Suponha-se uma lamina com centro de massa, fisicamente, isso indica que a lamina age como se toda sua massa se concentrasse nesse ponto, permitindo que ela ficasse na horizontal no caso de ser equilibrada nesse ponto.
Como as coordenadas do centro de massa são dadas por pontos que seguem a seguinte fórmula, sendo uma densidade variável dessa lamina e e sendo os momentos em relação aos eixos x e y, respectivamente:
Inércia
O momento de inércia é dado por , sendo m sua massa e r sua distancia do eixo. Ao se estender essa idéia para , sendo está a densidade continua de uma região D