TeoremadeGreen

C´alculo III
Departamento de Matem´atica - ICEx - UFMG
Marcelo Terra Cunha

Teorema de Green
Agora chegamos a mais um teorema da fam´ılia do Teorema Fundamental do C´alculo, mas dessa vez envolvendo integral de linha de campo vetorial e integral dupla de uma certa quantidade que j´a apareceu em nosso estudo sobre campos conservativos. O Teorema de Green tem uma id´eia essencial e alguns detalhes t´ecnicos. Vamos tentar trat´a-los, mas enfatizando o essencial.

10.1

Curvas Simples Fechadas e Integral de
Circula¸c˜
ao

Uma curva γ : [a, b] → Rn ´e dita fechada se γ (a) = γ (b); ´e dita simples se, para todo t1 , t2 ∈ (a, b), γ (t1 ) = γ (t2 ), ou seja, com a poss´ıvel exce¸c˜ao das extremidades, uma curva simples n˜ao tem auto-intersec¸c˜ao.
´ um resultado intuitivo (mas n˜ao ´obvio) que toda curva simples fechada
E
no plano ´e a fronteira de uma regi˜ao. Algumas vezes essa regi˜ao ´e chamada
“o interior da curva γ,” mas uma nomenclatura mais precisa ´e “a regi˜ao limitada por γ.” Fa¸ca alguns desenhos para se convencer.
Por conven¸c˜ao, uma curva simples fechada ser´a dita positivamente orientada se for percorrida no sentido anti-hor´ario. Tal conven¸c˜ao ´e muito simples de adotar para exemplos simples, como uma circunferˆencia, mas uma curva simples fechada pode n˜ao ser t˜ao simples assim. Mas sempre ´e poss´ıvel parametriz´a-la de modo que “a volta” que ´e feita em torno de cada ponto do interior de γ ´e percorrida no sentido anti-hor´ario.
Como nossa preocupa¸c˜ao ´e calcular integrais ao longo destas curvas, precisaremos de curvas diferenci´aveis (para podermos calcular seu vetor velocidade). Mas permitimos que em alguns pontos este vetor esteja duplamente definido (pois estes exemplos aparecem comumente, como ´e o caso dos pol´ıgonos). Uma curva γ (a, b) → Rn ´e diferenci´ avel por peda¸cos, ou ainda seccionalmente diferenci´avel se o intervalo [a, b] pode ser particionado em subintervalos Ii tais que a restri¸c˜ao de γ a cada Ii ´e diferenci´avel.

1

Se γ