Trabalho

C´lculo III a
Departamento de Matem´tica - ICEx - UFMG a Marcelo Terra Cunha

Integrais Duplas em Regi˜es Retangulares o
As integrais duplas em regi˜es retangulares s˜o o an´logo, para fun¸˜es o a a co de duas vari´veis, das integrais definidas, estudadas no c´lculo I. Comecea a mos revendo estas.

1.1

Revis˜o de Integral Definida a b Se f ´ uma fun¸˜o real (por exemplo, cont´ e ca ınua) definida no intervalo fechado [a, b] (nota¸˜o adequada f : [a, b] → R) a defini¸˜o da integral de f no ca ca intervalo [a, b], a x0

f (x) dx, come¸a pela defi¸˜o de uma parti¸˜o do intervalo c ca ca

[a, b] da forma = a < x1 < x2 < . . . < xn = b, com cada intervalo da parti¸˜o tendo comprimento ∆xi = xi − xi−1 , e da soma de Riemann da ca fun¸˜o f , no intervalo [a, b], subordinada ` parti¸˜o escolhida: ca a ca n Sf,[a,b] = i=1 f (ξi ) ∆xi ,

onde ξi ∈ Ii = [xi−1 , xi ]. Algumas somas de Riemann ganham nomes especiais, de acordo com a escolha de ξi . Se o crit´rio de escolha for que ξi ´ ponto de m´ximo de f e e a em Ii , essa ´ uma soma superior (de f , no intervalo [a, b], subordinada ` e a parti¸˜o escolhida). Analogamente, se ξi ´ sempre ponto de m´ ca e ınimo de f em Ii , temos uma soma inferior. Se denotarmos por S uma soma superior e S uma soma inferior, ´ f´cil ver que, para uma mesma parti¸˜o, S ≤ S. e a ca Mais interessante ´ mostrar que, sob certas condi¸˜es em f (por exemplo, e co para f cont´ ınua), independente das parti¸˜es trabalhadas, qualquer soma co inferior ´ menor que qualquer soma superior. Al´m disso, definindo a no¸˜o e e ca de refinamento de parti¸˜o, mostra-se que h´ um unico n´mero real que ´ ca a ´ u e maior que, ou igual a, qualquer soma inferior e f em [a, b] e menor que, ou igual a, qualquer soma superior da mesma fun¸˜o no mesmo intervalo. Este ca n´mero ´ a integral definida de f em [a, b]. u e 1

As t´cnicas posteriormente desenvolvidas nos curso de C´lculo I, com e a destaque para o Teorema Fundamental do C´lculo, nos