calculo 1

INTEGRAIS MÚLTIPLAS (PARTE 1)
Prof. Ms. Ailton Antonio de Sousa
PRIMITIVA
Uma função F é chamada de antiderivada ou primitiva de uma função f, num intervalo I, se para todo x  I F’(x) = = f(x).
Exemplo:
F(x) = x3 é uma primitiva de f(x) = 3x2, pois F’(x) = 3x2 = f(x)
INTEGRAL INDEFINIDA Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressão F(x) + C é chamada integral indefinida da função f(x) e é denotada (devido a Leibniz) por ou seja F(x) + C = . Nomenclatura: : sinal de integração; f(x): função integrando; f(x) dx : integrando.
PROPRIEDADE DA INTEGRAL INDEFINIDA
= k1+ k2 onde k1 e k2 são constantes
INTEGRAL DEFINIDA Se f é uma função contínua no intervalo [a,b] e F é uma primitiva de f nesse intervalo, então = F(b) – F(a). Também é usada a seguinte notação = F(b) – F(a) = F(x) O cálculo da integral definida não depende da primitiva considerada.
Exemplo Calcule a integral Como = + C, uma das primitivas da função é , obtida fazendo C = 0. Assim = = - = - = Escolhendo outra primitiva, por exemplo, + 1, obtida fazendo C = 1, temos: = ( + 1) = (+1) – (+1) = +1 - -1 =
PROPRIEDADE DA INTEGRAL DEFINIDA onde k1 e k2 são constantes
INTEGRAL DUPLA Se z = f(x,y) é uma função das variáveis x e y contínua e definida numa região fechada e limitada D do plano xy a integral dupla de f sobre a região D será denotada por

Observação: Posteriormente explicaremos o significado do símbolo dA na expressão acima.
PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS DUPLAS
i) ii) iii) se D for a união de duas região não sobrepostas D1 e D2

O cálculo de uma integral dupla irá depender da região D. Entretanto para o seu cálculo ela poderá ser reduzida a uma das seguintes formas: ou Na primeira situação a integral interna é calculada considerando x como um constante e na segunda y e considerado uma constante.
Exemplos: