integrais duplas

Integrais Múltiplas Enquanto as funções de uma variável são, geralmente, integradas em intervalos, as funções de duas variáveis são usualmente integradas em regiões do espaço bidimensional e as funções de três variáveis em regiões do espaço tridimensional. A integral definida de uma função de uma variável originou-se do problema da determinação de áreas sob curvas. nb a xxfdxxf ∆=

As integrais de funções de duas variáveis originam-se do problema da determinação de volumes sob superfícies. Dada uma função f de duas variáveis, contínua e não negativa numa região R do plano xy, é possível encontrar o volume do sólido compreendido entre a superfície z = f(x,y) e a região R. O procedimento para calcular o volume V é similar ao processo limitante para determinar áreas, exceto que, agora, os elementos de aproximação são paralelepípedos regulares, em vez de retângulos.

k kkkn AyxfV 1
O limite das somas de Riemann é denotado por:

k n
R AyxfdAyxf 1 que é denominada integral dupla de f(x,y) em R. Se f for contínua e não negativa na região R, então o volume pode ser expresso como:

Se f possui tantos valores negativos como negativos em R, então um valor positivo para a integral dupla de f em R significa que há mais volume acima do que abaixo de R; um valor negativo para a integral dupla significa que há mais volume abaixo do que acima de R; e o valor zero significa que o volume acima é igual ao volume abaixo de R. As derivadas parciais de uma função f(x,y) são calculadas mantendo-se uma das variáveis fixa e diferenciando em relação a outra variável. Considere o inverso desse processo, integração parcial. Os símbolos

denotam integrais definidas parciais. O processo de integração em dois estágios é chamado integração iterada: dydxyxfdydxyxf badcbad c

Integrais duplas em regiões não-retangulares Região do tipo I: é limitada à esquerda e à direita por retas verticais x = a e x = b e é limitada abaixo e acima por curvas contínuas y = g1(x) e y = g2(x), onde g1(x) ≤ g2(x),