INTEGRAL DUPLA

2.2 Integrais Duplos

Anteriormente estudaram-se os integrais da forma quer para funções definidas e limitadas em intervalos limitados quer para funções não limitadas em intervalos ilimitados. Em seguida generalizou-se o conceito de integral introduzindo os integrais de linha. Agora estudaremos integrais em que, em vez de intervalos unidimensionais teremos um conjunto bidimensional R, chamado região de integração, e a função integranda é um campo escalar definido e limitado em R. O integral resultante diz-se integral duplo e representa-se por

ou por

Vamos considerar dois tipos de regiões em :

Rx ou Tipo I ou regular segundo o eixo dos yy

y

a b x

Como mostra o gráfico uma região do Tipo I é definida por

,

onde e são funções contínuas com .
Ry ou Tipo II ou regular segundo o eixo dos xx

y

d

c

x

Como mostra o gráfico uma região do Tipo II é definida por

,

onde e são funções contínuas em com .

É óbvio que o domínio pode ser simultaneamente do Tipo I e do Tipo II (ex.: regiões limitadas por circunferências, elipses, ...), e nesse caso podemos escolher entre qual dos tipos queremos considerar. Noutras situações, a região terá de ser decomposta numa reunião de regiões de um ou de outro tipo.

2.2.1 Definição e propriedades

Consideremos a partir de agora uma função f de duas variáveis tal que esteja definida numa região R do plano . Definiremos o integral duplo como se segue, introduzindo desde já algumas notações:
R denotará uma região que pode ser subdividida em um número finito de regiões e e está contida numa região rectangular , como na figura abaixo,

Partição interior de R

Se W é dividida em m rectângulos como na figura, então a colecção de todas as sub-regiões fechadas rectangulares que estão completamente