Integracao

Cálculo Numérico

Integração Numérica

Profs.:
Bruno C. N. Queiroz
J. Antão B. Moura
José Eustáquio R. de
Queiroz
Joseana Macêdo Fechine
Maria Izabel C. Cabral
DSC/CCT/UFCG

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Integração Numérica


Em determinadas situações, integrais são difíceis, ou mesmo impossíveis de se resolver analiticamente.



Exemplo: o valor de f(x) é conhecido apenas em alguns pontos, num intervalo [a, b]. Como não se conhece a expressão analítica de f(x), não é possível calcular b



Forma de obtenção de uma aproximação para a f ( x)dx integral de f(x) num intervalo
[a, b]  Métodos a Numéricos.



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Integração Numérica


Idéia básica da integração numérica  substituição da função f(x) por um polinômio que a aproxime razoavelmente no intervalo [a, b]. 

Integração numérica de uma função f(x) num intervalo [a,b]  cálculo da área delimitada por essa função, recorrendo à interpolação polinomial, como, forma de obtenção de um polinômio – pn(x).

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Integração Numérica


As fórmulas terão a expressão abaixo:



Fórmulas de integração (fórmulas de quadratura):

n





I ( f )  A f ( x )

x0 , ... , xn - pontos conhecidos, pertencentes ao intervalo [a, b]
(nós de n i i integração). i 0
A0 , ... , An - coeficientes a determinar, independentes da função f (x) (pesos).

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Integração Numérica


O uso desta técnica decorre do fato de:


por vezes, f(x) ser uma função muito difícil de integrar, contrariamente a um polinômio;



conhecer-se o resultado analítico do integral, mas, seu cálculo é somente aproximado;



a única informação sobre f(x) ser um conjunto de pares ordenados.

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Integração Numérica
Métodos de integração numérica mais utilizados 

Fórmulas de Newton-Cotes Fechadas





Regra dos Trapézios, x0=a e xn=b.
Regra 1/3 de Simpson

Fórmulas de Newton-Cotes Abertas


os xi têm de pertencer ao intervalo aberto de a até b

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Regra dos Trapézios




Regra dos Trapézios Simples - consiste em considerar um polinômio de primeiro grau que aproxima uma