Hip rbole

HIPÉRBOLE

O QUE É UMA HIPÉRBOLE?
• Hipérbole é um tipo de seção cônica definida como a interseção entre uma superfície cônica circular regular e um plano que passa através das duas metades do cone, sem que este plano seja paralelo à linha oposta ao corte. Sejam F1 e F2 dois pontos do plano e seja 2c a distância entre eles, hipérbole é o conjunto dos pontos do plano cuja diferença (em módulo) das distâncias à F1 e
F2 é a constante 2a (0 < 2a < 2c).

• F1 e F2 → são os focos da hipérbole
O → é o centro da hipérbole
2c → distância focal
2a → medida do eixo real ou transverso
2b → medida do eixo imaginário c/a → excentricidade
• Existe uma relação entre a, b e c → c 2 = a2 + b2
• Duas hipérboles tais que o eixo focal de cada uma é igual ao eixo não-focal da outra são denominadas hipérboles conjugadas. Como os retângulos de base de duas hipérboles conjugadas são iguais, elas têm o mesmo centro, mesmas assíntotas e os focos a uma mesma distância do centro.

EQUAÇÃO REDUZIDA DA HIPÉRBOLE DE
EIXO TRANSVERSO HORIZONTAL
• Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma hipérbole e sejam F1(c,0) e F2(-c,0) os seus focos. Sendo 2.a o valor constante com c > a, como vimos acima, podemos escrever:½ PF1 - PF2 ½ = 2 a
• Usando a fórmula da distancia entre dois pontos, poderemos escrever:
• Observe que x – (-c) = x + c.
Quadrando a expressão acima, vem:

• Com bastante paciência e aplicando as propriedades corretas, a expressão acima depois de desenvolvida e simplificada, chegará a: b2.x2
- a2.y2 = a2.b2, onde b2 = c2 – a2 , conforme pode ser verificado na figura acima.
• Dividindo agora, ambos os membros por a2b2 vem finalmente:

HIPÉRBOLE EQUILÁTERA
• É aquela em que a = b, ou seja, a medida do semi-eixo real é igual à medida do semi-eixo imaginário. Cálculo da hipérbole equilátera
Sendo a = b
(eixo real sobre x)
(eixo real sobre y)

x² - y² = a² y² - x² = a²

ASSÍNTOTAS DA HIPÉRBOLE
• Assíntotas são retas que contêm as diagonais do retângulo de lados 2a e 2b.
• Quando o eixo