Olga

Identifica¸˜o de Cˆnicas ca o
Uma equa¸ao do segundo grau c˜ ax2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 define de maneira impl´ ıcita uma curva no plano xy: o conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem a equa¸ao. c˜ c˜ Por exemplo, o conjunto dos pontos (x, y) do plano que satisfazem a equa¸ao √ √ 5x2 − 6xy + 5y 2 − 30 2x + 18 2y + 82 = 0 ´ uma elipse. O gr´fico desta elipse ´ e a e

1.5 1 y 0.5 0 –0.5 –1 –1.5 3 3.5 4 x 4.5 5 5.5

√ √ Figura 1: Elipse de equa¸ao 5x2 − 6xy + 5y 2 − 30 2x + 18 2y + 82 = 0. c˜ Nem sempre uma equa¸ao do segundo grau representa uma curva suave. Por exemplo, embora a equa¸ao c˜ c˜ x2 + y 2 = 1 represente o c´ ırculo com centro na origem e raio 1, a equa¸ao x2 + y 2 = 0 representa apenas um c˜ ponto (a origem (0, 0)), a equa¸ao x2 + y 2 = −1 n˜o representa nada (pois n˜o existe nenhum ponto (x, y) c˜ a a que satisfa¸a esta equa¸ao; outra maneira de dizer isso ´ que ela representa o conjunto vazio), e a equa¸ao c c˜ e c˜ x2 − y 2 = 0 representa duas retas que se interceptam na origem (as retas de equa¸oes y = x e y = −x). c˜ Por outro lado, os tipos de curvas no plano que uma equa¸ao do segundo grau pode representar s˜o em c˜ a n´mero limitado. Dependendo dos valores dos coeficientes a, b, c, d, e, f a curva poder´ ser um c´ u a ırculo, uma elipse, uma hip´rbole, uma par´bola ou um caso degenerado, que pode ser o conjunto vazio, um ponto ou e a um par de retas. N˜o h´ outras possibilidades. a a Desenvolveremos um m´todo alg´brico para identificar a curva representada pela equa¸ao, sem precisar e e c˜ tra¸ar o seu gr´fico. Para isso, realizaremos uma s´rie de mudan¸as de coordenadas at´ que a curva esteja c a e c e colocada na melhor posi¸ao poss´ c˜ ıvel, ou seja, onde a sua equa¸ao ´ simples e de f´cil identifica¸ao. c˜ e a c˜ A primeira coisa a fazer ´ saber quais s˜o as equa¸oes das curvas quando elas j´ se encontram na melhor e a c˜ a posi¸ao poss´ c˜ ıvel. 1

Elipse
Defini¸˜o. Uma elipse ´ o conjunto dos pontos P do plano tais que a soma das