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MAT2454 - Poli - 2011
Cˆnicas - Parte II o Neste texto apresentamos defini¸˜es de elipse, hip´rbole e par´bola e deduzimos suas co e a equa¸˜es reduzidas. Nos exerc´ co ıcios s˜o apresentadas as propriedades opticas importantes a ´ dessas curvas e algumas aplica¸˜es. co Elipse
Fixemos um plano π e dois pontos F1 e F2 pertencentes a π. Uma elipse ´ o conjunto dos pontos P do plano π cuja soma das distˆncias aos e a pontos F1 e F2 ´ constante. Os pontos F1 e F2 s˜o chamados focos. e a
Para obtermos uma equa¸ao simples para a elipse, chamada equa¸˜o c˜ ca da elipse na forma reduzida, vamos escolher um sistema de coordenadas cartesianas de modo que os focos estejam no eixo dos x e a origem seja o ponto m´dio do segmento F1 F2. Dessa forma, teremos F1 = (−c, 0) e e F2 = (c, 0), para algum n´mero positivo c. Note que a distˆncia entre os u a focos ´ 2c. e Suponha que a soma das distˆncias de um ponto da elipse at´ os focos a e seja igual ao n´mero positivo que, por conveniˆncia, chamaremos de 2a. u e
Observe que a > c.
Um ponto P = (x, y) pertence ` elipse se e somente se a d(P, F1) + d(P, F2) = 2a ou seja,
(x + c)2 + (y − 0)2 + (x − c)2 + (y − 0)2 = 2a que ´ equivalente a e (x − c)2 + y 2 = 2a − (x + c)2 + y 2
Elevando cada lado da igualdade ao quadrado: x2 − 2cx + c2 + y 2 = 4a2 − 4a (x + c)2 + y 2 + x2 + 2cx + c2 + y 2
Simplificando:
a (x + c)2 + y 2 = a2 + cx
Elevando novamente ao quadrado: a2 (x2 + 2cx + c2 + y 2 ) = a4 + 2a2cx + c2 x2
1

que pode ser re-escrito como x2 (a2 − c2 ) + a2 y 2 = a2 (a2 − c2 )

(1)

A condi¸ao a > c > 0 nos permite concluir que a2 − c2 > 0. Por c˜ conveniˆncia, chamamos a2 − c2 = b2, para algum b > 0. Com isso, a e equa¸ao (1) pode ser escrita como c˜ x2b2 + a2 y 2 = a2 b2 e, dividindo termo a termo por a2 b2, obtemos a equa¸ao c˜ x2 y 2
+
=1 a2 b2

(2)

Portanto, a elipse formada pelos pontos (x, y) do plano cuja soma da distˆncia at´ os focos (−c, 0) e (c,