Revisão Final - Geometria Analitica

CAP´
ITULO 1
Transforma¸˜o de Coordenadas ca 1.1

Transla¸˜o de Eixos Coordenados ca Na transla¸˜o de eixos coordenados mudamos a origem e conservamos as dire¸˜es e os sentidos ca co destes eixos. Sejam XOY o sistema dado e X ′ O ′Y ′ o novo sistema, obtido a partir do primeiro por transla¸˜o. O novo sistema X ′ O ′ Y ′ ´ definido, em rela¸˜o ao primeiro, pelas ca e ca coordenadas h e k da origem O ′ e pela condi¸˜o O ′X ′ e O ′Y ′ serem, respectivamente, paralelos ca e do mesmo sentido que OX e OY . Assim o ponto P (x, y) no novo sistema ´ representado e por P ′(x′ , y ′) onde

x = x′ + h y = y′ + k

As equa¸˜es acima s˜o ditas f´rmulas de mudan¸a do sistema XOY para X ′ O ′Y ′ co a o c
1

(1.1)

SECAO 1.1 •
¸˜

TRANSLACAO DE EIXOS COORDENADOS
¸˜

2

y

y'

P(x,y)

k

O'

O

x'

h

x

Figura 1.1: transla¸˜o de eixos ca Exemplo 1.1. Transforme a equa¸˜o 7xy-14x-21y-13=0 em outra equa¸˜o sem os termos ca ca do 1o grau, usando a transla¸˜o de eixos coordenados. Fazendo x = x′ + h e y = y ′ + k ca temos:
7(x′ + h)(y ′ + k) − 14(x′ + h) − 21(y ′ + k) − 13 = 0
⇒ 7x′ y ′ + 7kx′ + 7hy ′ + 7hk − 14x′ − 14h − 21y ′ − 21k = 0
⇒ 7x′ y ′ + (7k − 14)x′ + (7h − 21)y ′ + 7hk − 14h − 21k − 13 = 0
⇒

7h − 21 = 0
7k − 14 = 0

⇒ 7x′ y ′ + 7.3.2 − 14.3 − 21.2 − 13 = 0 ⇒ 7x′ y ′ − 55 = 0

Exemplo 1.2. Transforme a equa¸˜o x2 + y 2 − 6x + 2y − 6 = 0 em uma nova equa¸˜o onde ca ca

n˜o figurem os termos do 1o grau. a primeiro modo: quando n˜o se conhece a equa¸˜o geral da curva. x= x’ +h e y= y’+ k , a ca
⇒ (x′ + h)2 + (y ′ + k)2 − 6(x′ + h) + 2(y + k) − 6 = 0
⇒ (x′ )2 + (y ′)2 + (2h − 6)x′ + (2k + 2)y ′ + h2 + k 2 − 6h + 2k − 6 = 0
⇒

2h − 6 = 0
2k − 2 = 0

⇒ h = 3; k = −1 ⇒ (x′ )2 + (y ′)2 = 16

CAP. 1 •

TRANSFORMACAO DE COORDENADAS
¸˜

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segundo modo: quando se conhece a equa¸˜o geral da curva. Neste caso ´ um c´ ca e ırculo, cuja equa¸˜o geral ´ (x − h)2 + (y − k)2 =