Conicas

Se¸oes Cˆnicas c˜ o
Reginaldo J. Santos
Departamento de Matem´tica-ICEx a Universidade Federal de Minas Gerais http://www.mat.ufmg.br/~regi [e-mail]
11 de dezembro de 2001
Estudaremos as (se¸oes) cˆnicas, curvas planas que s˜o obtidas da interse¸ao de um cone c˜ o a c˜ circular com um plano. Vamos estudar a elipse, a hip´rbole e a par´bola, que s˜o chamadas e a a de cˆnicas n˜o degeneradas. Vamos defini-las em termos de lugares geom´tricos. As outras o a e cˆnicas, que incluem um unico ponto, um par de retas, s˜o chamadas cˆnicas degeneradas. o ´ a o

1
1.1

Cˆnicas N˜o Degeneradas o a
Elipse

Defini¸˜o 1.1. Uma elipse ´ o conjunto dos pontos P = (x, y) do plano tais que a soma das ca e distˆncias de P a dois pontos fixos F1 e F2 (focos) ´ constante, ou seja, se dist(F1 , F2 ) = 2c, a e ent˜o a elipse ´ o conjunto dos pontos P = (x, y) tais que a e dist(P, F1 ) + dist(P, F2 ) = 2a,

Proposi¸˜o 1.1. ca em que b =

em que a > c.

(a) A equa¸ao de uma elipse cujos focos s˜o F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0) ´ c˜ a e √

x2 y 2
+ 2 = 1, a2 b

(1)

a2 − c 2 .

(b) A equa¸ao de uma elipse cujos focos s˜o F1 = (0, −c) e F2 = (0, c) ´ c˜ a e em que b =

√

x2 y 2
+ 2 = 1, b2 a

a2 − c 2 .

1

(2)

y

y
A2
F2

B2

A1

B1

A2
F1

F2

B2

x

x

B1
A1 = (−a, 0)
B1 = (−b, 0)
F1 = (−c, 0)

A2 = (a, 0)
B2 = (b, 0)
F2 = (c, 0)

A1 = (0, −a)
B1 = (−b, 0)
F1 = (0, −c)

Figura 1: Elipse com focos nos pontos F1 =
(−c, 0) e F2 = (c, 0)

F1
A1

A2 = (0, a)
B2 = (b, 0)
F2 = (0, c)

Figura 2: Elipse com focos nos pontos F1 =
(0, −c) e F2 = (0, c)

Demonstra¸ao. Vamos provar a primeira parte e deixamos para o leitor, como exerc´ c˜ ıcio, a demonstra¸ao da segunda parte. A elipse ´ o conjunto dos pontos P = (x, y) tais que c˜ e dist(P, F1 ) + dist(P, F2 ) = 2a , ou seja, que neste caso ´ e −→

−→

|| P F1 || + || P F1 || = 2a,
(x + c)2