Geometria analítica

A Geometria Analítica foi concebida por René Descartes. Aliando a Álgebra à Geometria, ela possibilita o estudo das figuras geométricas, associando-as a um sistema de coordenadas. Desse modo, as figuras podem ser representadas de pares ordenados, equações ou inequações. Neste número do Aprovar iremos estudar o ponto e a reta.
Distância Entre Dois Pontos
A simples medida da distância entre dois pontos, que envolve a utilização de réguas e escalas, na geometria analítica, se resume a uma fórmula facilmente dedutível:
O triângulo ABC é um triângulo retângulo, portanto vale o teorema Pitágoras, em que a distância AB é a hipotenusa, logo:

eQUAÇÕES DE UMA RETA equação Geral
Podemos estabelecer a equação geral de uma reta a partir da condição de alinhamento de três pontos.
Dada uma reta r, sendo A (xA, yA) e B (xB, yB) pontos conhecidos e distintos de r e P (x,y) um ponto genérico, também de r, estando A, B e P alinhados, podemos escrever:

Fazendo yA - yB = a, xB - xA = b e xAyB - xByA=c, como a e b não são simultaneamente nulos , temos: ax + by + c = 0 |
(equação geral da reta r)
Essa equação relaciona x e y para qualquer ponto P genérico da reta. Assim, dado o ponto P (m, n): se am + bn + c = 0, P é o ponto da reta; se am + bn + c 0, P não é ponto da reta.
Acompanhe os exemplos:
Vamos considerar a equação geral da reta r que passa por A (1, 3) e B (2, 4).
Considerando um ponto P (x, y) da reta, temos:

Vamos verificar se os pontos P (-3, -1) e Q (1, 2) pertencem à reta r do exemplo anterior. Substituindo as coordenadas de P em x - y + 2 = 0, temos:
-3 - (-1) + 2 = 0 -3 + 1 + 2 = 0
Como a igualdade é verdadeira, então P r.
Substituindo as coordenadas de Q em x - y + 2 = 0, obtemos:
1 - 2 + 2 0
Como a igualdade não é verdadeira, então Q r.
Equação Reduzida
Considere uma reta r não-paralela ao eixo Oy:

Isolando y na equação geral ax + by + c = 0, temos:

Fazendo , vem: Y = mx + q |
Chamada equação reduzida da reta, em que fornece a