Geometria analítica

Sumário Definição do produto escalar 1 Propriedades do produto escalar 1 Ângulo entre dois vetores; 2 Condição de perpendicularismo. 3 Projeção Ortogonal de um vetor sobre outro 3 Aplicação Geométrica 3 Definição do produto vetorial 3 Propriedades do produto vetorial 4 Interpretação Geométrica do módulo do produto vetorial. 5 Cálculo da área de um triângulo usando produto vetorial 5 Cálculo da área de um paralelogramo usando produto vetorial. 5 Dependência linear de 2 vetores 5 I. Dependência linear 5 II. Independência linear 5 Exemplo: 5 8)Dependência linear entre 3 vetores 6

Definição do produto escalar
Dados os vetores v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3), definimos o produto escalar (produto interno) entre v e w, como o escalar real:
-------------------------------------------------
v.w = v1w1 + v2w2 + v3w3

Exemplos: O produto escalar entre v=(1,2,5) e w=(2,-7,12) é:
-------------------------------------------------
v.w = 1.2 + 2.(-7) + 5.12 = 48
O produto escalar entre v=(2,5,8) e w=(-5,2,0) é:
-------------------------------------------------
v.w = 2.(-5) + 5.2 + 8.0 = 0

Propriedades do produto escalar
Quaisquer que sejam os vetores u, v e w e o escalar k: (PE1) v.w = w.v (PE2) v.v = |v| |v| = |v|² (PE3) u.(v + w) = u.v + u.w (PE4) (k v).w = v.(k w) = k (v.w) (PE5) |k v| = |k| |v| (PE6) |u.v| < |u|.|v| (desigualdade de Schwarz) (PE7) |u+v| < |u|+|v| (desigualdade triangular)

Ângulo entre dois vetores;
O produto escalar entre os vetores v e w pode ser escrito na forma: v.w = |v| |w| cos(t) | | onde t é o ângulo formado pelos vetores v e w. Observamos que este ângulo pode ser maior ou igual a zero, mas deve ser menor do que 180 graus (pi radianos). Com esta última definição, podemos obter o ângulo t, através do cosseno deste argumento t.
-------------------------------------------------