Geometria analítica (questões respondidas)

1. (UFES) As coordenadas do ponto médio de um segmento AB são (-1, 2). Sabendo-se que as coordenadas do ponto A são (2, 5), então as coordenadas de B são:

a) (4,1)
b) (-4, 1)
c) (4, -1)
d) (-1, -4)
e) N.d.a

Solução

xM = (xA + xB)/2
-1 = (2 + xB)/2
-2 = 2 + xB
-2 -2 = xB xB = -4

yM = (yA + yB)/2
2 = (5 + yB)/2
4 = 5 + yB
4 - 5 = yB yB = -1

B(-4, -1)

2. Determine o valor de c para que os pontos A(4, 2), B(2, 3) e C(0, c) estejam alinhados.
SOLUÇÃO:
para que os pontos A, B e C estejam alinhados, o determinante de suas coordenadas deve ser igual a zero. Assim, temos que:
Fazendo o cálculo do determinante obtemos:
12 + 0 + 2c – 4 – 4c – 0 = 0 ou 8 – 2c = 0
2c = 8 c = 4.

3. Determine a equação da reta que passa pelo ponto P (-1, -2) e forma com os eixos coordenados um triângulo de área 4 u.a.

Solução:
Seja m o coeficiente angular da reta: y - (-2) = m*[x - (-1) -----> y = mx + m - 2
Para x = 0 ----> y = m - 2
Para y = 0 ----> x = - (m - 2)/m
S = x*y ----> S = - [(m - 2)/m]*(m - 2)/2 ----> 4 = - (m - 2)²/2m ----> 8m = - (m - 2)² ----> 8m = - m² + 4m - 4 -----> m² + 4m + 4 = 0
Raiz dupla ----> m = - 2
Reta ----> y = - 2x - 2 - 2 -----> y = - 2x - 4

4. Determine o ponto de intersecção dos seguintes pares de retas concorrentes: a) 3x + 2y - 8 = 0 e 4x + 5y - 13 = 0 b) 2x - 5y - 2 = 0 e 3x + 5y -28 = 0
SOLUÇÃO:
a) 3x + 2y = 8 . (-4) -12x - 8y = -32 7y = 7 4x + 5y = 13 . (3) 12x + 15y = 39 y = 7 = 1 0x + 7y = 7 7
3x + 2.1 = 8 x = 6 = 2 I (2,1) 3

b) 2x - 5y = 2 5x = 30 2.6 - 5y = 2 3x + 5y = 28 x = 30 = 6 -5y = 2 - 12 5x + 0y = 30 5 y = -10 = 2 I (6,2) -5