geometria analitica

Geometria Analítica - Série Concursos Públicos
Curso Prático & Objetivo

Geometria Analítica

Interpreta¸c˜ao Geom´etrica de Sistemas Lineares com 3 Inc´ognitas

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Coordenadas no Espa¸co

Vamos introduzir um sistema de coordenadas retangulares no espa¸co. Para isto, escolhemos um ponto como origem O e como eixos coordenados, trˆes retas orientadas, passando pela origem, perpendiculares entre si. Estes ser˜ao os eixos x, y e z. O eixo z ´e o eixo vertical. Os eixos x e y s˜ao horizontais e satisfazem a seguinte propriedade.
Se os dedos da m˜ao direita apontam na dire¸c˜ao do semi-eixo x positivo de forma que o semi-eixo y positivo esteja do lado da palma da m˜ao, ent˜ao o polegar aponta no sentido do semi-eixo z positivo. Cada par de eixos determina um plano chamado de plano coordenado. Portanto os trˆes planos coordenados s˜ao: xy, yz e xz.
A cada ponto P no espa¸co associamos um terno de n´ umeros (x, y, z), chamado de coordenadas do ponto P como segue.
• Passe trˆes planos por P paralelos aos planos coordenados.
• A interse¸c˜ao do plano paralelo ao plano xy, passando por P , com o eixo z determina a coordenada z.
• A interse¸c˜ao do plano paralelo ao plano xz, passando por P , com o eixo y determina a coordenada y
• A interse¸c˜ao do plano paralelo ao plano yz, passando por P , com o eixo x determina a coordenada x.
Alternativamente, podemos encontrar as coordenadas de um ponto P como segue.
• trace uma reta paralela ao eixo z, passando por P ;
• A interse¸c˜ao da reta paralela ao eixo z, passando por P , com o plano xy ´e o ponto P ′ . As coordenadas de P ′ , (x, y), no sistema de coordenadas xy s˜ao as duas primeiras coordendas de P .

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z

z

z
P = (x, y, z)

P = (x, y, z)

z x x

y

x

y
P′

x

y

y

Figura 1: As coordenadas de um ponto no espa¸co
• A terceira coordenada ´e igual a distˆancia de P a P ′ , se P