Geometria Analitica

Hipérbole
01) Uma Hipérbole tem seu centro na origem e seu eixo real coincidente com o eixo
6
X. Excentricidade = e passa pelo ponto (2, 1). Determinar sua equação.
2
Resposta: y Eixo real = raio maior da hipérbole, e centro na origem.

x2 y 2
Eq. geral p/ este caso: 2  2  1 a b
Excentricidade  

P


x

c a c
6
6

logo c  a
2
a
2
c2 = a2 + b2
Usando a relação acima temos:
2



a 6   a2  b2
 2 


6
a2  a2  b2
Isolando b, temos:
4
3 a2  a2  b2
2

3a 2
 a2  b2
2
3a 2
 a2  b2
2
a2
 b2
2

Substituindo na eq. geral da Hip, temos:

x2 x2 y 2 a2  2 1 a2 b
22
2
2
2 x y
 2  1 Agora substituindo pelo ponto P (2, 1) a a2 a
4
2 a2 2
2
x
2y
 2 1
2
2 a a a2 Então temos:

a2
 b2
2

2y 2
1
a2
2
2  1

1 a2 2
 2 1 a 

 1  a2  2

 b2  1

x2 y2

1
Com isso, a eq. da hipérbole fica:
2
1

1

02) Determinar a equação da hipérbole sendo os focos (–7, 3) e (–1, 3), comprimento do eixo real = 4.
Resposta:
Como os focos possuem o mesmo valor em y, logo seu eixo maior está sobre o eixo x, e com um centro qualquer C(h, k)
A equação para este caso:

 x  h 2   y  k 2 a2 1

b2

Sabemos que o centro é um ponto médio entre os focos, logo podemos calcular este ponto médio:

y

 x  x 2   y1  y 2 
PM   1
, 

 2  2 
  7  1  3  3 
PM  
 PM  ( 4, 3)
, 
 
 2  2 

F


C


F


x

Temos a relação que o comprimento do eixo real = 2a, logo nosso eixo real será igual a
2. Então a = 2.
Lembrando que a distância entre os focos é igual a 2c, calculando a dist. Entre os focos, obtemos este valor:

d FF  d FF 

 1  (7) 2  3  32

c2  a 2  b2

x 2  x1 2   y 2  y1 2

d FF  6

2

Logo, c = 3, e com a relação:


 d FF  6

Então a equação reduzida fica:

32  2 2  b 2
9  4  b2 b2  5

 x  4 2   y  3 2
5