Fígado
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Matemática AplicadaESTeSL
Integral indefinido
2.Integral indefinido
Primitivas de funções racionais
Paula Macedo
ACM
2.4
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Matemática Aplicada
Integral indefinido
ESTeSL
Primitivas de funções racionais
Primitivas de funções racionais
N( x )
D( x )
{x ∈ R : D( x) ≠ 0}
ACM
y=
Paula Macedo
Para determinar as primitivas de funções racionais são necessários os seguintes passos:
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1
Matemática Aplicada
Integral indefinido
Primitivas de funções racionais
1º passo- obtenção de uma função racional própria
N ( x)
D( x)
Paula Macedo
ACM
ESTeSL
f (x ) =
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Matemática Aplicada
Integral indefinido
Primitivas de funções racionais
ESTeSL
1º passo- obtenção de uma função racional própria
N ( x)
R(x )
= Q(x ) +
D( x)
D(x )
R (x )
R( x )
∫ D( x) dx = ∫ Q(x ) + D(x ) dx = ∫ (Q(x ))dx + ∫ D(x ) dx
Paula Macedo
ACM
N ( x)
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2
Matemática Aplicada
Integral indefinido
Primitivas de funções racionais
Paula Macedo
ACM
ESTeSL
2º passo- determinação das raízes de D(x) para factorizar
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Matemática Aplicada
Integral indefinido
Primitivas de funções racionais
ESTeSL
2º passo- determinação das raízes de D(x) para factorizar
1º caso
o denominador admite m raízes reais todas diferentes.
As raízes de D(x) são do tipo: r1 , r2 ,..., rm todas reais e diferentes.
Factorizando o polinómio D(x), vem D
ACM
Assim tem-se,
2º caso
(x ) =
bm
(x
− r1
)( x
N (x )
N (x )
=
D (x ) b m ( x − r1 )( x − r 2 )K ( x − r m
− r 2 )K
(x
− rm
)
)
o denominador admite raiz real múltipla.
As raízes de D(x) são do tipo: r (raiz de multiplicidade m).
Paula Macedo
Factorizando o polinómio D(x), vem
Assim tem-se,
D
(x ) =
bm
(x
− r
)m
N (x )
N (x )
=
m
D (x ) b m (x − r )
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Matemática Aplicada
Integral