Funções Vetoriais

Funções Vetoriais

Até agora nos cursos de Cálculo só tratamos de funções cujas imagens estavam em R. Essas funções são chamadas de funções com valores reais ou funções escalares. Vamos tratar a seguir das funções cujos valores são vetores do R² ou R³. Um exemplo de uma função vetorial é a velocidade, num instante t, de um objeto que se move no espaço.

Seja D ⊂ R. Uma função vetorial r(t) com domínio D é uma correspondência que associa a cada número t em D exatamente um vetor r (t) em R Seja D ⊂ R. Uma função vetorial r (t) com domínio D é uma correspondência que associa a cada número t em D exatamente um vetor r (t) em R³.

Uma vez que as três componentes de r(t) são determinadas univocamente para cada t em D podemos escrever r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t) k onde f, g e h são funções escalares de domínio D e são chamadas de funções componentes de r(t).

Se D ⊂ R, então r(t) é uma função com valores vetoriais com domínio D se e somente se existem funções escalares f, g e h tais que r (t) = f(t) i + g(t) j + h(t) k para todo t em D.

Observações:

•As mesmas definições valem para r(t) em R².
.
•O domínio da função r (t) corresponde à intersecção dos domínios das funções escalares componentes f, g e h.

Exemplos:

1) O movimento de uma partícula P sobre uma circunferência de raio1 pode ser expresso pela função vetorial r(t)= cos t i + sent j, onde a variável t representa o tempo e P(cost, sent) dá a posição da partícula em movimento. Neste caso o domínio da função vetorial é R e as funções escalares componentes sãof(t) = cost e g(t) = sent.

Alguns valores para r(t) t r(t)
0
1 π / 2
J
π
- i

Os valores acima significam que nos instantes t = 0; t = π /2 e t = π a particular se encontra nas posições P1(1,0); P2 (0,1) e P3(−1, 0).

2) r(t) = cost i – 3t j

Neste caso o domínio da função vetorial é R e as imagens são vetores do R². As funções componentes são f(t) = cost e g(t) = − 3t.

Alguns valores para