FUNÇÕES VETORIAIS

FUNÇÕES VETORIAIS

Definição

Chama-se de função vetorial de uma variável real t, definida em um intervalo I, a função em que cada t I associa um vetor do espaço. Denotamos .
O vetor pode ser escrito como

Exemplos
a) Podemos expressar o movimento de uma partícula P, sobre uma circunferência de raio 1, pela função vetorial . Nesse caso, a variável t representa o tempo e nos dá a posição da partícula em movimento.
b) Em economia podemos estabelecer uma função vetorial preço. Consideremos três mercadorias tais que a primeira tem preço , a segunda tem preço e a terceira tem preço dado pela soma das duas primeiras. A função vetorial preço é .

Exercícios:
1) Sejam e , com e .
Calcular:
a)
b)
c)
d)
e)

2) Uma partícula se desloca no espaço. Em cada instante t o seu vetor posição é dado por .
a) Determinar a posição da partícula no instante e .

b) Quando t se aproxima de 2, o que ocorre com a posição da partícula?

3) Determinar a derivada das seguintes funções vetoriais:
a)
b)
c)
d)

Interpretação Física da Derivada

Consideremos uma partícula em movimento no espaço. Suponhamos que no tempo t, é o vetor posição da partícula com relação a um sistema de coordenadas cartesianas. Ao variar t, a extremidade livre do vetor descreve a trajetória C da partícula.
Suponhamos que a partícula esteja em P no tempo t e em Q no tempo . Então representa o deslocamento da partícula de P para Q, ocorrido no intervalo de tempo .
A taxa média de variação de no intervalo é dada por:

e é chamada velocidade média da partícula no intervalo de tempo . A velocidade instantânea da partícula no tempo t, que denotamos , é definida pelo limite quando esse limite existe. Portanto, quando é derivável, a velocidade instantânea da partícula é dada por . Analogamente, se é derivável, a aceleração da partícula é dada por .

Exemplo1: O vetor posição de uma partícula em movimento no plano é .
a) Determinar o vetor