FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA

1. Assinale V (verdadeiro) ou F (falso):
(a) ( V ) Dado um número primo, existe sempre um número primo maior do que ele.
(b) ( V ) Se dois números não primos são primos entre si, um deles é ímpar. (c) ( F ) Um número primo é sempre ímpar. (d) ( V ) O produto de três números naturais consecutivos é múltiplo de seis. (e) ( V ) A soma de três números naturais consecutivos é um múltiplo de três.

2. Mostre que o produto de dois números naturais consecutivos é par.
Demonstração. Tomaremos a proposição P = P (n)), definida por P (n): f (n) = n (n + 1) é divisível por 2
O produto f (1) = 1(1 + 1) = 2 é divisível por 2, garantindo que P (1) é verdadeira. Agora, vamos assumir que P (n) é verdadeira, isto é, que f (n) = n (n + 1) é par, o que equivale a garantir que existe k ∈ N tal que f (n) = 2k. Mostraremos que P (n + 1) é verdadeira, isto é, f(n + 1) = (n + 1)(n + 2) também é par. Realmente,
F (n + 1) = (n + 1) (n + 2) = (n + 1) n + 2(n + 1) = 2k + 2(n + 1)
Assim, f (n + 1) = 2(k + n + 1) e segue o resultado desejado.

3. Prove que o quadrado de um número natural a é par se, e somente se, a é par.
Se a é ímpar, então podemos escrevê-lo da seguinte maneira: a=2n+1, tal que n seja um número natural. a²= (2n+1)² = 4n²+4n+1, daqui concluímos que qualquer que seja n(natural) 4n² é par, 4n é par, 1 é ímpar. Teremos uma soma com duas parcelas pares e uma ímpar, assim a soma será ímpar. Concluindo, a² sendo a ímpar sempre será ímpar.
Vamos desenvolver o quadrado de a, considerando-o par.
Se a é par, então podemos escrevê-lo da seguinte maneira: a=2n, tal que n seja um número natural. a² = 2n² = 4n², bom daqui concluímos que qualquer que seja n (natural), o mesmo multiplicado por um número par, resultará em um produto par, ou seja, a² = 4n² => sempre será par

4. Prove, usando o Princípio da Indução:
(a)
P /n =1 1(1 + 1) = 2 V p/ n = K 2 + 4 + 6 + ... + 2K = K (K + 1)
Supondo para n = K + 1, assim: 2 + 4 + 6+ ... + 2k + 2k + 1 = k + 1[(k + 1) +