Fundamentos da matematica elementa

Capítulo 1

Funções reais de variável real
1.1 Conceitos básicos sobre funções

Uma função f é uma correspondência que associa a cada elemento x de um dado conjunto D um único valor y.

• O elemento x designa-se por argumento (ou variável independente) e o elemento y por imagem de x (ou variável dependente de x). Escreve-se usualmente y = f (x). • D (ou Df ) designa-se por domínio de f . • O conjunto das imagens designa-se por contra-domínio ou conjunto imagem de f e denota-se por CDf ou Im f . • Chama-se gráfico de f a Gf = {(x, y) : x ∈ Df e y = f (x)}. • Se Df e CDf são subconjuntos de R, f diz-se uma função real de variável real e o gráfico de f é uma curva em R2 . 2

São exemplos de funções reais de variável real: 1. A correspondência f (x) = 2x + 1, com x ∈ R. O gráfico de f é Gf = {(x, y) : y = 2x + 1} que corresponde à recta de R2 representada abaixo. y y = 2x + 1

1 1/2

x

2. A correspondência x → ln(x), com x ∈ R, x > 0. O domínio de f é R+ e gráfico de f é Gf = {(x, y) : x > 0 e y = ln x}, que corresponde à curva de R2 representada abaixo. y y = ln x x
1

3

3. A correspondência g definida pela seguinte tabela, onde Dg = {−2, −1, 0, 1, 2}: x -2 -1 0 1 2 g(x) 4 1 0 1 4

que pode também ser definida como o conjunto de pares ordenados, {(−2, 4), (−1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)}. 4. A sucessão de números reais, n ∈ N → xn = y y= 1 x

1 . n

1 1/2

1

2

3

4

x

5. A correspondência definida por ramos,    2, x > 0  f (x) =   x, x ≤ 0.  4

cujo o gráfico se encontra representado na figura abaixo.

y
2

y=2

x

y=x

Para uma função real de variável real temos os seguintes conceitos: • f diz-se injectiva se para todos os pontos do domínio x1 = x2 se tem f (x1 ) = f (x2 ). • f diz-se crescente se para todos os pontos do domínio x1 < x2 se tem f (x1 ) ≤ f (x2 ). • f diz-se estritamente crescente se para todos os pontos do domínio x1 < x2 se tem f (x1 ) < f (x2 ). • f diz-se decrescente se para todos os pontos